Affine Räume und Abbildungen

Question

Ich hab leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll... Ich brauch sie aber für nächste Woche. Kann mir jemand helfen?

Aufgabe:

a) Begründe, warum man Geraden und Ebenen als affine Unterräume des jeweiligen \( \mathbb{R}^{n} \) auffassen kann, indem du die Punktmenge, den zugehörigen Vektorraum und den Ursprungspunkt angibst.

b) Beschreibe, wie man Geraden bzw. Ebenen als Bilder von affinen Abbildungen des \( \mathbb{R}^{1} \) bzw. \( \mathbb{R}^{2} \) im jeweiligen \( \mathbb{R}^{n} \) auffassen kann, indem du die Abbildungsvorschrift angibst.
Einem affinen Raum ordnet man die Dimension des verwendeten Vektorraums zu. Begründe also mithilfe des Dimensionssatzes, welche Dimension eine Gerade bzw. eine Ebene als Unterraum des \( \mathbb{R}^{n} \) hat.

c) Einige Geraden lassen sich im \( \mathbb{R}^{2} \) in der Form \( g: A x+B y=0 \) mit \( A, B \in \mathbb{R}, A \cdot B \neq 0 \) darstellen. Begründe, wie sich diese Geraden als Kerne linearer Abbildungen auffassen lassen, indem du die lineare Abbildung und die beteiligten Vektorräume angibst

Answer 1

a)  Gleichungen für Geraden bzw. Ebenen in R^n sehen so aus:

$$g: \vec{x}=\vec{p}+t \cdot \vec{u}$$ bzw.  $$E: \vec{x}=\vec{p}+t \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}$$

Dabei ist bei g ein Ortsvektor zu einem Punkt der Geraden das \( \vec{p} \) und \( \vec{u} \) ein

von 0 verschiedener Richtungsvektor und t ein Parameter, also eine reelle Zahl.

Also ist \( \vec{p} \) der Ursprungspunkt und \( \vec{u} \) eine Basis des benutzten Vektorrauemes.

Der ist also 1-dimensional und die affine Abbildung ist

f: <u> → R^n mit f(\( \vec{x} \)) = \( \vec{p} \)+\( \vec{x} \)

Für Ebenen entsprechend.

Bei c) betrachte die Abbildung f : R^2 → R mit f(x,y)=Ax+By