Das haben wir doch geschon geklärt. Auf der verlinkten Seite wird es doch sogar vorgerechnet.
Nun ein allerletztes mal:
Av =λi*v
gilt für einen Eigenvektor und zugehörigen Eigenwert λi.
λi ist hier EIN Eigenwert. λi ist somit eine reelle Zahl und KEIN Vektor.
Jeder Eigenwert hat somit dazugehörige Eigenvektoren.
Wir haben für die erste Matrix die Eigenwerte 3 und 1.
Also muss für unsere Eigenvektoren gelten:
Av =3*v
oder
Av =1 *v
Aufgrund dieser Tatsache Formen wir die Gleichung um.
Wir berechnen nun Eigenvektoren zu dem Eigenwert 3:
Av =3*v
<=> Av - 3v = 0
<=> (A-3*E)v = 0
Unsere Eigenvektoren zu 3 sind also die Vektoren, die (A-3E) auf 0 abbilden.
Das ist nichts anderes als der Kern von (A-3E).
Dies ist GENAU das, was ich mehrmals nun erwähnt habe und was du,sofern du dich mit dem gepostetem Link beschäftigt haben solltest, auch hättest machen sollen.
Eigenvektoren sind also die Vektoren, die in:
ker(A- λ*E)
liegen.
Also weiter für EW 3 :
ker(A- E*3)
=
ker (
3 2 i 8 - 3 0 0 0
0 3 2 0 0 3 0 0
0 0 3 0 0 0 3 0
0 0 0 i 0 0 0 3
)
=
ker(
0 2 i 8
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 -3
)
Der Kern ist ja das,was auf 0 abbildet, also erhalten wir ein LGS mit 4 Unbekannten(a,b,c,d):
0 2 i 8 | 0
0 0 2 0 | 0
0 0 0 0 | 0
0 0 0 -3 | 0
Dieses LGS können wir mit unserem Schulwissen auflösen:
-3d = 0 => d = 0
2b = 0 => b = 0
2b + i*c + 8d= 0 => i*c = 0 => c = 0
=> Lösungen sind (0,0,0,0) und span{ (1,0,0,0) }
Der Nullvektor ist IMMER eine Lösung so eines Kernes,deswegen Interessiert uns dieser nicht weiter. Wir haben also als EV zu dem EW 3 den Vektor (1,0,0,0). (Es würde jetzt auch jedes vielfache von (1,0,0,0) funktionieren als Eigenvektor fungieren). Jetzt haben wir keine weiteren linear unabhängigen Lösungen, somit gibt es nur diesen einen Eigenvektor:
algebraische Vielfachheit: der EW tritt 3-fach auf, also = 3
geometrische Vielfachheit: Wir finden nur einen Eigenvektor, also = 1
Ganz wichtig: algebraische Vielfachheit eines EW ist immer größer gleich der geometrischen Vielfachheit.
Nun müssen wir das selbe für den zweiten EW machen.
Eine Basis für C^4 besteht aus 4 linear unabhängigen Vektoren. Haben wir das nun hier? Dies können wir bereits nach meinen obigen Berechnungen begründen, und zwar mit dem unterstrichenen.
