Wie finde ich die kleinsten natürlichen Zahlen für x und y?

Question

Aufgabe:

\( \sqrt[72]{2^{6}} \cdot \sqrt[12]{2^{120}}: 2^{9}=\sqrt[x]{2^{y}} \) 

Problem/Ansatz:

Wie finde ich die kleinsten natürlichen Zahlen für x und y ?

Guten Abend, leider fällt es mir wirklich schwer mit den Wurzelgesetzen eine Lösung dafür zu finden . Ich habe als erstes die aus den Wurzeln reine Potenzen also aus 72.Wurzel aus 2^6 zum Beisiel 2^(6/72) und da es sich hier um die gleiche Basis handelt bei allen habe ich dann die Exponten addiert und einen subtrahiert. Ich weiß, dass die Lösung für X=12 ist und für y=13 doch komme ich mit meinen Rechenweg nicht zu dieser Lösung. Wäre mir eine große Hilfe wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet.

Liebe Grüße Ortwin

Answer 1

Du kannst immer den Wurzelexponenten und den

Exponenten der Potenz in der Wurzel durch einen

gemeinsamen Teiler kürzen.

\( \sqrt[72]{2^{6}} \cdot \sqrt[12]{2^{120}}: 2^{9} \)

\( =\sqrt[12]{2} \cdot \sqrt[12]{2^{120}}: 2^{9} \)

\( = \sqrt[12]{2^{121}}: 2^{9} \)

\( = \sqrt[12]{2^{121}}: \sqrt[12]{2^{108}} \)

\( = \sqrt[12]{2^{13}} \)

Da 12 und 13 den ggT = 1 haben sind x=12 und y=13

die gesuchten Zahlen.

Answer 2

2^(6/72)·2^(120/12)/2^9

= 2^(6/72 + 120/12 - 9)

= 2^(13/12)

Also

y = 13 und x = 12

Answer 3

\(\begin{aligned} & \sqrt[72]{2^{6}}\cdot\sqrt[12]{2^{120}}:2^{9}\\ =\ & 2^{\frac{6}{72}}\cdot2^{\frac{120}{12}}:2^{9}\\ =\ & 2^{\frac{6}{72}+\frac{120}{12}-9}\\ =\ & 2^{\frac{13}{12}}\\ =\ & \sqrt[12]{2^{13}} \end{aligned}\)

habe ich dann die Exponten addiert und einen subtrahiert.

Wenn du dabei nicht auf den Exponenten \(\frac{13}{12}\) kommst, dann sind nicht Wurzel- oder Potenzgesetze dein Problem, sondern Bruchrechnung.

Answer 4

hallo

einfach links und rechts mit dem TR ausrechnen dann stimmt das nicht, steht da als letzter Term vielleicht statt der 9 im Exponenten 1/9?

dein vorgehen ist völlig richtig.

Gruß lul

Gruß lul