Question

Die Quadrat Wurzel aus einer natürlichen Zahl n ist eine natürliche Zahl, wenn n eine Quadrat Zahl ist. Andernfalls ist √n kein endlicher Dezimalbruch.

Kann mir wer helfen, diesen Satz zu erläutern? Ich versuche ihn schon die ganze Zeit mir selbst zu erläutern, aber ich komme einfach nicht auf was logisches.
Vielen Dank an die die mir antworten! Gruß
Tim

Answer 1

Das heißt: Wenn du aus einer natürlichen Zahl die Wurzel ziehst,

ist entweder "glatt"  wie bei  √25   oder  √121  etc.

oder es ist kein endlicher Dezimalbruch .

letzteres kann man vielleicht so begründen:

Wäre die y die Wurzel aus einer natürlichen Zahl x ein endlicher Dezimalbruch,

(aber keine nat. Zahl), dann  hätte y jedenfalls Nachkommastellen,

und da das nur endlich viele wären, sähe das etwa so aus

y = a....b,c....d .

Und d wäre nicht 0 (sonst könnte man es ja weglassen.)

Und wenn das die Wurzel aus x ist, dann müsste ja gelten

                    y*y = x

also a....b,c....d *  a....b,c....d  und wenn du das schriftlich rechnest:

             a....b,c....d *  a....b,c....d
           --------------------------------------

            .? ? ? ? ............. ? ? ?  d^2
              .? ? ? ? ............. ? ? ?

              .............................................

            -----------------------------------------

     ? ?      .? ? ? ? ............. ? ? ? d^2

Das Ergebnis müsste aber x sein, hätte also

hinter dem Komma nur 0en. Also wäre

auch die letzte Nachkommastelle eine 0, aber

d^2 = 0 klappt für alle Ziffern d von 1...9 nicht,

also wäre auch d=0, aber ( s.o.) es müsste

ja d ≠ 0 sein. Also geht das nicht.

Answer 2

Hallo

Dass die Wurzel aus einer quadrierten  ganzen Zahl wieder eine ganze Zahl ist ist hoffentlich nicht dein Problem, denn Wurzelziehen ist ja einfach die Umkehrung von quadrieren.

aber dann will man wissen gibt es einen Bruch  p/q  mit p,q ganz (oder abbrechenden Dezimalbruch) so dass (p/q)^2=n wenn n keine Quadratzahl ist.

meist fängt man damit an,  für n =2 zu zeigen, dass es einen solchen Bruch nicht geben kann. Für alle anderen n die man nicht als m^2 schreiben kann läuft der Beweis ähnlich. Den Beweis kann man an vielen Stellen im Netz nachlesen, oder in youtube ansehen. Stichwort Irrationalität der Wurzel.

zu unterscheiden ist das davon, dass dein TR wenn du 2 und √ eingibst dir die ersten 8 oder 10 Stellen einer Zahl ausgibt, aber das ist nur eine "Näherung" für √2, in Wirklichkeit kommt, wenn du diese 10 stellige Zahl quadrierst eben nich 2 raus sondern 2,00000000.. mit  ab einer Stelle  keine 0 mehr. D.h. im täglichen Leben rechnen wir mit √2 als einem endlichen Bruch, weil wir den exakten Wert nie angeben können.

Gruß lul

Comments

Es geht doch nur um "endlicher Dezimalbruch" nicht um rational.

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Hallo mathef

endlicher Dezimalbruch ist doch rationale (Ausnahme periodische Dezimalbrüche) ich verstehe deinen Einwand nicht.

lul

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Ausnahme periodische Dezimalbrüche

also ist es nicht das Gleiche.