Beweisen, dass Injektivität von f und g impliziert. dass auch g°f injektiv ist

Question

Aufgabe:

Seien \( f: M \rightarrow N, g: N \rightarrow R \) Abbildungen. Beweisen Sie, dass die Injektivität (Surjektivität, Bijektivität) von \( f \) und \( g \) impliziert. dass auch \( g \circ f \) injektiv (surjektiv, bijektiv) ist.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben:\(\quad f:\;M\to N\quad;\quad g:\;N\to R\).

zu a) Injektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\text{ ist injektiv}}{\implies}f(x_1)=f(x_2)\stackrel{f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2$$Das heißt im Umkehrschluss:$$x_1\ne x_2\implies g(f(x_1))\ne g(f(x_2))$$Wenn also \(f\) und \(g\) injektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) injektiv.

zu b) Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

Wähle ein \(c\in R\) beliebig, aber fest. Da \(g\) surjektiv ist, gibt es ein \(b\in N\) mit \(c=g(b)\). Da \(f\) ebenfalls surjektiv ist, gibt es ein \(a\in M\) mit \(b=f(a)\). Für das gewählte \(c\) gibt es also ein \(a\) mit \(c=g(f(a))\). Da \(c\) beliebig gewählt werden kann, gilt also:$$\forall c\in R:\;\exists a\in M:\;c=(g\circ f)(a)$$Wenn also \(f\) und \(g\) surjektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) surjektiv.

zu c) Bijektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird.

Da eine Funktion genau dann bijektiv ist, wenn sie injektiv und surjektiv ist, gilt mit (a) und (b) auch, dass die Verkettung bijektiver Funktionen wieder bijektiv ist.

Answer 2

Vor.: f und g injektiv.

Beh.: g o f injektiv.

Seien a,b ∈ M mit (gof)(a)=(gof)(b)

==>  g( f(a)) = g( f(b) )

==>  f(a) = f(b) weil g injektiv

==>  a = b weil f injektiv.   q.e.d.

Vor.: f und g surjektiv.
Beh.: g o f surjektiv.

Sei y ∈ R . ==>   Es gibt a∈N

mit  g(a) = y  da g surjektiv.

==>   Es gibt x∈M mit f(x)=a da f surjektiv.

Wegen (gof)(x) = g(a)=y  gibt es also

x∈M mit (gof)(x) = y , also ist gof surjektiv.