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Wir betrachten zusammen die Funktion$$f\colon\mathbb R\to\mathbb R\;,\;f(x)=8x-4$$
1) Injektivität
Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge (oder auch Wertemenge genannt) höchstens 1-mal getroffen wird. Um das formal zu zeigen, gehst du davon aus, dass es zwei gleiche Funktionswerte (aus der Zielmenge) gibt, \(f(x)=f(y)\), und folgerst dann, dass die Argumente dieselben sein müssen, also \(x=y\) gelten muss.$$f(x)=f(y)\implies8x-4=8y-4\stackrel{(+4)}{\implies}8x=8y\stackrel{(\colon8)}{\implies}x=y$$Das bedeutet dann nämlich im Umkehrschluss, dass keine zwei Argumente dasselbe Ziel haben:$$x\ne y\implies f(x)\ne f(y)$$Jedes Element der Zielmenge wird also höchstens 1-mal getroffen, die Funktion ist injektiv.
2) Surjektivität
Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Um dies zu zeigen, wählst du dir ein völlig beliebiges Element \(y\) aus der Zielmenge aus und bestimmst dann ein \(x\) aus der Definitionsmenge, das auf dieses \(y\) abbildet.
Sei \(y\in\mathbb R\) aus der Zielmenge beliebig, aber fest gewählt. Wir suchen ein \(x\in\mathbb R\) aus der Definitionsmenge, sodass gilt:$$y\stackrel!=f(x)=8x-4\stackrel{(+4)}{\implies}y+4=8x\stackrel{(\colon8)}{\implies}x=\frac{y+4}{8}$$Damit haben wir für jedes \(y\) aus der Zielmenge ein \(x\) aus der Definitionsmenge angegeben, das dieses \(y\) trifft. Die Funktion ist surjektiv.
3) Bijektivität
Bijektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Das ist genau dann der Fall, wenn die Funktion injektiv und surjektiv ist. Daher ist die Funktion \(f\) bijektiv.
