Aloha :)
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.
Hier ist jedoch \(f(-1)=\ln(2)=f(1)\). Der Wert \(\ln(2)\) aus der Zielmenge wird also mehr als 1-mal getroffen, sodass die Funktion nicht injektiv ist.
Wenn du kein Gegenbeispiel findest und den Verdacht hast, dass eine Funktion injektiv ist, nimm an, es gibt zwei Argumente \(x\) und \(y\), die dasselbe Ziel treffen \(f(x)=f(y)\). Folgere dann daraus, dass \(x=y\) sein muss.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
Hier sind jedoch alle Argumente \((1+x^2)\) der Logarithmusfunktion \(\ge1\). Daher ist \(f(x)\ge0\) für alle \(x\in\mathbb R\). Wäre die Zielmenge nun \(\mathbb R^{\ge0}\), wäre die Funktion tatsächlich surjektiv. Aber die Zielmenge ist ganz \(\mathbb R\). Du kannst also sagen, dass z.B. das Element \((-1)\) der Zielmenge nicht getroffen wird. Die Funtion ist also nicht surjektiv.
Wenn du kein Gegenbeispiel findest und den Verdacht hast, dass eine Funktion surjektiv ist, greif dir einen Wert \(y\) beliebig aus der Zielmenge heraus und zeige, dass es ein \(x\) aus der Definitionsmenge gibt, das dieses \(y\) trifft.
Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Das heißt, eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Daher ist \(f(x)\) nicht bijektiv.
