Aufgabe:
Beweise das (1) $$ -\sum_{i} y_{i} \log \left(\operatorname{sgd}\left(\vec{w}^{\top} \vec{x}_{i}\right)\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\operatorname{sgd}\left(\vec{w}^{\top} \vec{x}_{i}\right)\right)$$ $$ y_{i} \in\{0,1\}$$
äquivalent zu (2) $$ \sum_{i} \log \left(1+\exp \left(-y_{i} \vec{w}^{\top} \vec{x}_{i}\right)\right) \quad y_{i} \in\{-1,1\}$$ ist.
Hinweis: $$\operatorname{sgd}(u)=\frac{1}{1+\exp (-u)}=\frac{\exp (u)}{1+\exp (u)}$$
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz war es die erste Funktion zur Zweiten umzuformen, mit dem jeweils kleineren Wert ( (1) y=0; (2) y = -1),
so wird die erste Funktion zu$$ \log \left(1-\operatorname{sgd}\left(\vec{w}^{\top} \vec{x}_{i}\right)\right) $$. Nun habe ich den Hinweis eingesetzt, weiss nun leider nicht wie ich weiter vorgehen kann.
LG
