Richtig? Kern(ϕ) = Kern(ψ)

Question

Aufgabe:

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und seien ϕ, ψ ∈ V∗ \ {0}. Beweise oderwiderlege:
Sind ϕ, ψ linear abhängig, so folgt Kern(ϕ) = Kern(ψ).

Problem/Ansatz:

Wenn ich ein λ,μ ≠ 0 habe, so dass

λϕ+μψ = 0 gilt,

dann gibt es ein ϕ(v)=0 welches genau dann gilt wenn ψ(v)=0.

somit ist der Kern gleich und die Aussage richtig.

Stimmt das oder ist es zu ungenau etc.?

Answer 1

Ist ϕ = λψ für λ nicht 0, dann ist zu begründen Kern(λψ) = Kern(ψ), das ist aber sonnenklar.
Also ist die Aussage richtig.