Ist 1,111… eine rationale Zahl?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ist 1,111… eine rationale Zahl? Wenn ja, welche?

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Wenn Du das als Bruch schreiben willst und nicht weißt wie, und Überlegungen auch nicht zum Ziel führen, dann kannst Du ja einfach ausprobieren:

Answer 1

Man hat \(10\cdot 1,\bar{1}-1\cdot 1,\bar{1}=11,\bar{1}-1,\bar{1}=10\),

also \(9\cdot 1,\bar{1}=10\), folglich \(1,\bar{1}=\frac {10}{9}\).

Entsprechend kann man andere periodische Dezimalzahlen

als Brüche darstellen:

ist \(d\) die periodische Dezimalzahl mit Periodenlänge \(p\),

dann bildet man \(10^p\cdot d-d=(10^p-1)\cdot d\) ...

Eine andere Methode besteht darin, dass man den periodischen

Anteil einer Dezimalzahl als geometrische Reihe auffasst und den

Wert dieser Reihe bestimmt.

Answer 2

Ob 1,111… eine rationale Zahl ist hängt davon ab, wofür "..." steht.

Wenn ja, welche?

Es ist die rationale Zahl, die da nun mal steht. Möchtest du sie anders darstellen? Wenn ja, in welcher Form?

Comments

1,1111.... = 1+1/9 = 10/9 -> rationale Zahl