Aufgabe:
Sei f : X → Y eine Funktion und A ⊆ X, B ⊆ Y . Zeige: f ist surjektiv genau dann, wenn für alle B ⊆ Y gilt, dass f(f-1(B))=B.
Problem/Ansatz: Ich habe erkannt, dass es sich um eine Äquivalenzaussage handelt und ich deswegen Hinrichtung und Rückrichtung zeigen muss. Ich fasse einmal zusammen, wie weit ich bin:
Hinrichtung: Man nehme an, f sei surjektiv. Somit gibt es für jedes y∈Y ein x∈X, s.d f(x)=y. Da B eine Teilmenge von Y ist, gibt es also auch für jedes y∈B ein x∈ f-1(B), s.d f(x)=y. Kann ich jetzt behaupten, dass die Abbildung B→f-1(B) bijektiv sein muss, da, wenn es nicht injektiv ist, f keine Abbildung mehr wäre? Wenn das ginge, wäre meine Idee mit der Bijektivität zu folgern, dass f•g=Identität von B ist, was ja wiederum B ist.
Rückrichtung: Hier habe ich es mit einem Widerspruchsbeweis versucht:
Sei f(f-1(B))=B für alle B ⊆ Y. Man nehme an, f wäre nicht surjektiv. Dann gäbe es mindestens ein y∈Y, für dass es kein x∈X gibt mit f(x)=y. Es gilt aber für y∈B, dass f(f-1(y))=y und f-1 (y)∈X. Das ist ein Widerspruch, also ist f surjektiv.
Danke schonmal für jede Art von Rückmeldung!