Integralrechnung mit Rotationskörpern

Question

Berechnen sie den Rauminhalt des Rotationskörpers der entsteht, wenn die Fläche zwischen den Nullstellen von f um die x-Achse rotiert.

a)  f(x) = -x^2 + 4
b) f(x) = - 1/2 x^4-4x
c) f(x) = Wurzel aus:9-x^2

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das Vorgehen nicht ganz.

Könnte jemand die Lösungen und Lösungswege mitsamt der Nullstellen, Stammfunktion und dem anschließenden Integral angeben ?

Comments

Ich verstehe das Vorgehen nicht ganz.

Und ich verstehe nicht, was du mit "nicht ganz" meinst.

Vielleicht kannst du ja doch ein wenig.

Was sind die Nullstellen von

a)  f(x) = -x² + 4
b) f(x) = - 1/2 x⁴-4x
c) f(x) = \( \sqrt{9-x^2} \)?

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Ich habe keine Lust und Zeit dazu meine gesamten Rechnungen hier einzugeben und bitte daher nur um die Lösungswege dieser Aufgaben.

Answer 1

c) f(x) =\( \sqrt{9-x^2} \)

Nullstellen:

\( \sqrt{9-x^2} \)  =0|\( ^{2} \)

x^2=9|\( \sqrt{} \)

x₁=3

x₂=-3

Rotation um die x-Achse:

Allgemein:
\( \begin{array}{l} V=\pi \cdot \int\left([f(x)]^{2} \cdot d x\right. \\ f(x)=\sqrt{9-x^{2}} \end{array} \)
\( V=\pi \cdot \int \limits_{-3}^{3}\left(9-x^{2}\right) \cdot d x=\pi \cdot\left\{\left[9 x-\frac{1}{3} x^{3}\right]_{-3}^{3}\right\}=\pi \cdot\left\{\left[9 \cdot 3-\frac{1}{3} \cdot 3^{3}\right]-\left[9 \cdot(-3)-\frac{1}{3} \cdot(-3)^{3}\right]\right\}=36 \cdot \pi V E \)

\( \mathrm{Es} \) ist eine Kugel: \( V_{K}=\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot \pi \)
\( r=3 \)
\( V_{K}=\frac{4}{3} \cdot 3^{3} \cdot \pi=36 \pi \)