Umformen des Summenzeichens

Question

Die Summe

\( \sum \limits_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \)

soll 2^{n} · 1/2^{n+1} ergeben, allerdings verstehe ich nicht so richtig, wie man darauf kommt.

\( \sum \limits_{k=1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2^{n}} \frac{1}{k}+\sum \limits_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2}+\sum \limits_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \)

nach der Induktionsvoraussetzung. Die verbliebene Summe auf der rechten Seite besteht aus \( 2^{n} \) Summanden, von denen der letzte der kleinste ist, nämlich \( \frac{1}{2^{n+1}} \). Also gilt

\( \sum \limits_{k=1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2}+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2} \)

Comments

und zwar soll die untenstehende Summe 2ⁿ · 1/2ⁿ⁺¹ ergeben,

$$2^n \cdot \frac 1{2^{n+1}} = 2^n \cdot \frac 1{2^n \cdot 2} = \frac 12$$da hast Du irgendwas falsch abgeschrieben, oder?

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Wolframalpha liefert

\( \sum \limits_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k}\\=\psi^{(0)}\left(1+2^{n+1}\right)-\psi^{(0)}\left(1+2^{n}\right) \)

Was das bedeutet, weiß ich aber nicht.

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Was das bedeutet, weiß ich aber nicht.

steht unten links im Ergebnisfenster. \(\psi\) ist die Digammafunktion. Kennst Du die nicht? (ich auch nicht)

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Das bringt mich leider nicht weiter.

Answer 1

Hallo,

Eigentlich nicht, habe mit Orange den Schritt nochmal markiert.

das ist aber was gänzlich anderes. Du möchtest wissen warum das gilt$$\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac 1k \ge 2^n \cdot \frac 1{2^{n+1}} = \frac 12$$Da steht ein 'größer gleich' und kein Gleichheitszeichen dazwischen, was Du in Deiner Frage geschrieben hast

... und zwar soll die untenstehende Summe 2n · 1/2n+1 ergeben,

Das macht einen Riesenunterschied!

Und die Erklärung steht oben im Text. Die Summe besteht aus \(2^n\) Summanden. Beispiel für \(n=2\) läuft \(k\) von \(k=2^2+1=5\) bis \(2^{2+1}=8\). Also ist$$n=2:\quad \sum\limits_{k=5}^8 \frac 1k = \frac 15+\frac 16 + \frac 17 + \frac 18$$Das sind \(2^2=4\)  Summanden und der Letzte - also das \(1/8\) - ist der kleinste, da hier der Nenner am größten ist. Folglich ist$$ \frac 15+\frac 16 + \frac 17 + \frac 18 \ge \frac 18 + \frac 18+ \frac 18+ \frac 18 = 2^2 \cdot \frac 18 = \frac 12$$da alle Summanden vorher größer sind, wegen des kleineren Nenners. Also ist$$\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac 1k= \underbrace{\frac1{2^n+1} + \frac 1{2^n+2} + \dots + \frac 1{2^n +2^{n}}}_{2^n \space\text{Summanden}} \ge 2^n \cdot \frac 1{2^{n+1}} = \frac 12 \\ \text{Bem.:}\space 2^{n+1} = 2\cdot 2^n = 2^n+2^n$$Falls noch etwas unklar ist, so frage bitte nach

Gruß Werner