Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens. 2 + 8 + 18 + 32 + 50 + 72 + 98 + 128

Question

Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens Σ:

2 + 8 + 18 + 32 + 50 + 72 + 98 + 128

Es ist ja sicherlich eine Zahlenfolge, jedoch komme ich nicht weiter.

Comments

Ein Tipp hilft vielleicht: Klammere mal aus!

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Schau erst mal, wie viele Schritte du brauchst, um zu einer konstanten Folge zu kommen.

2 + 8 + 18 + 32 + 50 + 72 + 98 + 128

  6      10    14    18   22   26     30

      4        4       4       4    4     4

Nun weisst du, dass die Summanden irgendwie mit einer quadratischen Funktion berechnet werden können.

Answer 1

bilde die Differenzen der aufeinanderfolgenden Glieder:

8-2=6

18-8=10

32-18=14 usw

die Differenz steigt also immer um 4, also linear an. Also kann man deine Zahlenfolge mit einer quadratischen Funktion darstellen:

f(k)=2k²+4k+2=2*(k+1)²

--> S=∑_k=0⁷2*(k+1)²

Answer 2

Um mathematisch interessierten zu zeigen, dass es nicht nur "eine Zahlenfolge" sondern unendlich viele verschiedene Zahlenfolgen mit diesen Anfangsgliedern gibt, hier 2 "auf die Schnelle":

a) Mit Interpolationspolynomen wie z.B. unter

http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html

(oben Zahlenfolge eingeben -> dann sieht man sofort die Differenzen usw. und unten das fertige Polynom, was man noch umschreiben kann; pow(x,2)=x*x=x² = x² ) ergibt

f(i) =i*i*2+i*4+2 mit Laufvariable i=0...7, was auch per Summenzeichen so aussieht: Σ_i=0⁷ f(i)

b) Funktion Prime(x) liefert Primzahlen -> die Differenz dazu kann wieder per Interpolationspolynom zur Lösung führen:

f(i)=Prime(i+1)+(i*(i*(i*(i*(i*(i*(53*i-1274)+12068)-57050)+140147)-158396)+89652))/5040

Der Iterationsrechner zeigt die Gleichheit der Anfangsglieder

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(x*(x*(x*(x*(x*(x*(53*…

und summiert auch gleich die Summe in a.

Answer 3

Die Aufgabenstellung: Darstellung der Summe:

2+8+18+32+64+128

mit Summenzeichen.

Die Herausforderung: Du sollst aus den mit Ganzen Zahlen (Z) dargestellten Summen- Gliedern ein Prinzip erkennen und dieses Prinzip allgemeingültig und damit für jede Zahl aus Z substituierbar formalisieren!

Du kannst folgende Beobachtung machen: Danach ist:

Faktor (i) Faktor (2i) Produkt
1 * 2 = 2
2 * 4 = 8
3 * 6 = 18
4 * 8 = 32
5 *     10 = 64

etc…

Der erste Faktor beträgt - dies kannst Du sehr leicht aus obiger Darstellung herauslesen - immer das Doppelte des zweiten Faktors. Damit hast Du ein Prinzip erkannt. Jetzt brauchst Du nur noch zu formalisieren indem Du die spezifischen Zahlen aus Z durch Formvariablen ersetzt.

Sei der erste Faktor i und der zweite damit 2*i
So ergibt sich: i*2i => 2i² 



8
Σ 2i²
i = 1

Du kannst auch den noch allgemeineren Weg, und zwar mithilfe der Aufstellung einer Quadratischen Funktionsgleichung gehen. Diese lässt sich nämlich, aufgrund der Beobachtung, dass innerhalb des Binoms immer eine lineare Steigerung, und zwar um 4 pro Summenglied stattfindet, sehr schön als das 1. Binom darstellen. Danach gilt:

f(x) = 2i² + 4i +2
= 2(i² +2i + 1)
= 2(i+1)²

Beachte aber bitte (!), dass es hierbei zu einer Indexverschiebung kommt:

7
Σ 2(i+1)²
i=0

Ich persönlich neige zur zweiten Option, nicht weil sie komplizierter (und damit “toller”) ausschaut, sondern weil sie von vornherein dem mathematischen Prinzip, das beobachtet werden kann, nämlich einer linearen Steigerung, einer Steigerung also, mit gleichbleibenden Steigungsgrad, für mein Empfinden, stärker Rechnung trägt.