a) der Logarithmus ist für Null und negative Werte nicht definiert. Es muss also gelten
x^2-y+e>0 --> x^2+e>y
~plot~ x^2+e;[[ -5 | 5 | 0 | 10 ]] ~plot~
Das entspricht dem Bereich unter der Parabel.
Niveaulinie:
z=1=ln(x^2-y+e)
0=x^2-y+e
y=x^2+e, das ist die obige Kurve
stärkster Anstieg:
grad f=(2x/(x^2-y+e),-1/(x^2-y+e))
grad f(1,1)=(2/e,-1/e)=1/e*(2,1)
Richtung ist also (2,1)
Wert des Anstiegs:
|(2/e,-1/e)|=(√5)/e
Tangentialebene:
Taylorentwicklung von z in (1,1)
f(x,y)=z=f(1,1)+grad f(1,1)*(x-1,y-1)=1+ (2/e,-1/e)*(x-1,y-1)=1+2/e*(x-1)-1/e*(y-1)
0=1+2/e*(x-1)-1/e*(y-1)-z
b)
f(x,y)=2x^4+y^4-x^2-2y^2
df/dx=8x^3-2x=0
df/dy=4y^3-4y=0
--> x=0 oder x=1/2 oder x=-1/2
y=0 oder y=1 oder y=-1
Die kritischen Stellen sind alle möglichen Kombinationen aus diesen x und y Werten, also 9 Stück