Gesucht Tangentialebene lokale Extremalstellen. z=f(x,y)= ln(x^2 - y + e) .

Question

a) Gegeben ist die Funktion \( z=f(x, y)=\ln \left(x^{2}-y+e\right) \)
Skizzieren Sie den Definitionsbereich und die Niveaulinie für \( z=1 \)
Berechnen Sie die Richtung und den Wert des steilsten Anstiegs von der Funktion im Punkt \( P=(1 ; 1) \)
Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an \( f \) im Punkt \( P=(1 ; 1) \) an.

b) Gegeben ist die Funktion \( z=f(x, y)=2 x^{4}+y^{4}-x^{2}-2 y^{2} . \)
Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, die die notwendige Bedingung für lokale Extremalstellen erfüllen. (Das sind die stationären Punkte von \( f \).) 

Ich bin gerade in der Klausurvorbereitung für Mathe. Wir hatten das Thema ganz am Ende der Vorlesung leider wurde uns der Rest fürs Selbststudium aufgetragen. Ich bekomme die Aufgabe leider nicht hin. Kann mir jemand weiterhelfen oder mal einen Lösungsweg nennen? Vielen Lieben dank im Voraus wirklich Klasse Forum.

Answer 1

a) der Logarithmus ist für Null und negative Werte nicht definiert. Es muss also gelten

x^2-y+e>0 --> x^2+e>y

 ~plot~ x^2+e;[[ -5 | 5 | 0 | 10 ]] ~plot~

Das entspricht dem Bereich unter der Parabel.

Niveaulinie:

z=1=ln(x^2-y+e)

0=x^2-y+e

y=x^2+e, das ist die obige Kurve

stärkster Anstieg:

grad f=(2x/(x^2-y+e),-1/(x^2-y+e))

grad f(1,1)=(2/e,-1/e)=1/e*(2,1)

Richtung ist also (2,1)

Wert des Anstiegs:

|(2/e,-1/e)|=(√5)/e

Tangentialebene:

Taylorentwicklung von z in (1,1)

f(x,y)=z=f(1,1)+grad f(1,1)*(x-1,y-1)=1+ (2/e,-1/e)*(x-1,y-1)=1+2/e*(x-1)-1/e*(y-1)

0=1+2/e*(x-1)-1/e*(y-1)-z

b)

f(x,y)=2x^4+y^4-x^2-2y^2

df/dx=8x^3-2x=0

df/dy=4y^3-4y=0

--> x=0 oder x=1/2 oder x=-1/2

y=0 oder y=1 oder y=-1

Die kritischen Stellen sind alle möglichen Kombinationen aus diesen x und y Werten, also 9 Stück