Beweis eines Summenzeichens in den natürlichen Zahlen

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{a(k)} \) = ((1-a)ⁿ  ) : (1-a)

a(k) soll a_k bedeuten.

Wie beweist man nun, dass diese Beziehung für alle a∈ℝ\{0} und alle n∈ℕ₊ gilt?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

1. Was soll den a(k) für ein Folge sein?

n und a sind klar, aber wir haben ja keine spezielle Folge a(k) gg. und für alle Folgen gilt es ja nicht, also glaube ich da fehlt noch ein a(k) = .....

2.Weißt du bei diesem Spezielfall nicht wie es geht oder generell?

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion:_Beispiele

,eigentlich geht diese Art  von Aufgabe echt gut wenn man mal 1-2 einfachere Beispiele vorher gerechnet hat.

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Oh das war ein Tipfehler...

Das soll a^k sein!

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Aloha :)

Wie genau sind die \(a(k)\) definiert?

Die Beziehung gilt nicht für alle \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\), denn bei \(a=1\) dividieren wir durch \(0\).

Könntest du bitte die Aufgabenstellung nochmal überprüfen.

Answer 1

Aloha :)

Definiere \(S_{n}:=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k\). Wir multiplizieren \(S_n\) mit \(a\) und subtrahieren das Produkt von \(S_n\):

$$S_n-a\cdot S_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k-a\cdot\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k$$$$\phantom{S_n-a\cdot S_n}=\left(a^0+a^1+a^2+a^3+\cdots+a^{n-2}+a^{n-1}\right)$$$$\phantom{S_n-a\cdot S_n=}-a\cdot\left(a^0+a^1+a^2+a^3\cdots+a^{n-2}+a^{n-1}\right)$$$$\phantom{S_n-a\cdot S_n}=a^0+a^1+a^2+a^3+\cdots+a^{n-2}+a^{n-1}$$$$\phantom{S_n-a\cdot S_n=M}-a^1-a^2-a^3-\cdots-a^{n-2}-a^{n-1}-a^{n}$$Wenn du dir jetzt die Summen anschaust, stellst du fest, dass sich die meisten Summanden gegenseitig wegheben. Von der ersten Summe mit den positiven Termen bleibt nur \(a^0\) übrig, von der letzten Summe mit den negativen Termen bleibt nur \(-a^n\) übrig. Wir haben also gefunden:

$$S_n-a\cdot S_n=a^0-a^n$$$$S_n(1-a)=1-a^n$$$$S_n=\frac{1-a^n}{1-a}$$Wenn du jetzt die Summe wieder für \(S_n\) einsetzt, hast du alles:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k=\frac{1-a^n}{1-a}$$

Answer 2

sei \(o.B.d.A\) die Folge \( a_k \rightarrow a\) konvergent, also eine Nullfolge für \(k \to \infty\).

:::::(Hier solltest du noch begründen, warum man \(o.B.d.A\) annehmen kann)::::::::::::

:::::tust du dies nicht, ist dein Beweis falsch. Also das \(o.B.d.A\) ist NICHT trivial::::::::

Wir setzen dann \(a_k = a^k\).

::::::::::::::::(Hier musst du begründen, warum man dies so setzen kann):::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

:::::::::(Tipp: Frage dich warum die Folge a_k immer eine Nullfolge sein muss)::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

:::Achtung: Diese Implikation geht nur in eine Richtung, d.h. \(\sum a_k \) konvergiert \(\Rightarrow a_k\) ist Nullfolge:::

Die Behauptung folgt dann aus der geometrischen Summenformel. \(\square\)