Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung im n-dimensionalem Raum gelten.

Question

Guten Tag,

Hier noch eine weiter Aufgabe, welche eine weiter Teilaufgabe der Aufgabe und meiner vorherig gestellten Frage ist.

Text erkannt:

(b) Zeigen Sie, dass
\( \frac{1}{\sqrt{n}}\|\underline{x}\| \leq\|\underline{x}\|_{\infty} \leq\|\underline{x}\| \)
für alle \( \underline{x} \in \mathbb{R}^{n} \) gilt, wobei \( \|\cdot\| \) die euklidische Norm auf dem \( \mathbb{R}^{n} \) bezeichne.

Wie beweise ich diese Ungleichung? Benutzt man für den Beweis die vollständige Induktion oder muss man sich eines anderen Werkzeuges bemächtigen?

Comments

Wie sind die Normen definiert? $$ \| x \| = \sqrt{ \sum_{k=1}^n x_k^2  } $$ und $$ \| x \|_\infty = \max_{k=1..n} x_k $$

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Ja genau so sind die Normen definiert.

Answer 1

Aloha :)

Es ist \(\vec x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n\) gegeben.

Wir wählen aus den Komponenten eine mit maximalem Betrag und nennen sie \(x_m\):$$|x_k|\le|x_m|\quad\text{für alle }k=1,2,\ldots,n\quad;\quad m\in\{1,2,3,\ldots,n\}$$Damit können wir folgende Ungleichungskette aufstellen:$$\frac{1}{\sqrt n}\left\|\vec x\right\|=\frac{1}{\sqrt n}\underbrace{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}}_{\text{n Summanden}}\le\frac{1}{\sqrt n}\sqrt{x_m^2+x_m^2+\cdots+x_m^2}$$$$\phantom{\frac{1}{\sqrt n}\left|\vec x\right\|}=\frac{1}{\sqrt n}\sqrt{n\cdot x_m^2}=\sqrt{x_m^2}=\left|x_m\right|=\left\|\vec x\right\|_\infty$$$$\left\|\vec x\right\|_\infty=\left|x_m\right|=\sqrt{x_m^2}\le\underbrace{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_1^2+\cdots+x_n^2}}_{\text{einer der Indizes ist gleich m}}=\left\|\vec x\right\|$$

Comments

Steht m in diesem Falle für den Index des Größten Betrages aus dem Vektor? Bzw. gibt m die Komponente aus dem Vektor an, bei dem der Betrag maximal ist?

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Ja, genau. Es muss ja eine vom Betrag her größte Komponente unter den \(x_k\) geben. Diese habe ich \(x_m\) genannt, das "m" soll "maximal" bedeuten.$$x_m\coloneqq\max\limits_{k=1,\ldots,n}\left|x_k\right|$$

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Ich würde mit den Quadraten der Normen arbeiten. Dann wird Manches

einfacher / übersichtlicher ;-)

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Okay gut ,dann habe ich das schonmal verstanden. Aber eine weitere Frage habe ich noch, wie kommt man von 1/√n ·√n·x_m² auf x_m²?

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@ermanus Meinst du weil sich dann auch die Wurzeln alle auflösen bzw. verschwinden?

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$$\frac{1}{\sqrt n}\cdot\sqrt{n\cdot x_m}=\frac{1}{\sqrt n}\cdot\sqrt{n}\cdot\sqrt{x_m}=\frac{\sqrt n}{\sqrt n}\cdot\sqrt{x_m}=\sqrt{x_m}$$

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Achsooo, okay. Wirklich vielen vielen Dank für die Hilfe:)

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"Meinst du weil sich dann auch die Wurzeln alle auflösen bzw. verschwinden?"

Ja. Dann ist alles "angenehm wurzelfrei". Das ändert aber prinzipiell

nichts an der schönen Lösung von Tschakabumba.