Konsistenz von Runge-Kutta-Verfahren

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus!

Comments

Explizit sind Verfahren wo die Matrix \( A \) des Butcher-Tableaus eine strikte untere Dreiecksmatrix ist.

Fall c ist das heun Verfahren.

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Danke erstmal für deine Antwort!

wie ich verstanden habe sind b), c) und e) explizit oder?

und noch eine Frage: Wieso ist der Fall c das heun verfahren? wie kann ich wissen welches Verfahren ein Fall ist ?

Danke im Voraus für deine Antwort :)

Answer 1

e) ist nicht explizit, weil die Marix nicht eine strikte untere Dreiecksmatrix ist.

Setzte bei c) die Koeffizienten des Butcher-Tableaus in die Quadraturformel ein, siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta-Verfahren

dann siehst Du es. Es ergibt sich

$$ k_1 = f(t_k,y_k) $$ und $$ k_2 = f(t_k+h, y_k + h f(t_k,y_k) $$ insgesamt gibt das

$$ y_{k+1} = y_k + \frac{1}{2} h \left[ f(t_k,y_k) + f(t_k+h, y_k + h f(t_k,y_k)\right] $$ und das ist....?

Comments

Heun Verfahren oder was meinst du?

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Genau! Schreib die anderen Verfahren auch mal hin. Vielleicht erkennst Du ja welche wieder.

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Ich habe die Quadraturformel nicht verstanden

Könntest du mir bitte das erklären und mir zeigen wie du k_1 und k_2 und dann y bekommen hast?

Danke im Voraus!

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Es gilt $$ k_j = f \left(  t_n+h c_j , y_n + h \sum_{l=1}^s a_{jl} k_l \right) $$

In Fall (c) gilt \( s = 2\) , \( c_1 = 0 \), \( c_2 = 1 \) , \( b_1 = b_2 = \frac{1}{2} \) und \( a_{21} = 1 \) alle anderen \( a_{ij} = 0 \)

Durch einsetzen ergibt sich die Heun Formel.

Berechen zuerst \( k_1 \) und dann \( k_2 \) da \( k_2 \) von \( k_1 \) abhängt.

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Alles klar.

Verlangt die Aufgabe dass ich bestimmen muss welches Verfahren der Fall ist wie du gemacht hast? oder einfach nur sagen Welcher Fall explizit bzw. implizit ist ohne der Name von dem Verfahren zu nennen?

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Steht doch alles in der Aufgabe. Sage welche Verfahren explizit oder implizit sind. Das sollte jetzt gehen. Dann musst Du die Konsistenzordnung noch bestimmen von jedem Verfahren.

Für das Heun Verfahren siehe hier.

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiykYjCh4v0AhVRzKQKHULlD4MQFnoECAMQAQ&url=http%3A%2F%2Fwww.icm.tu-bs.de%2F~bolle%2Fnumerikbuch%2Fuebung%2F066%2Fuebweb.pdf&usg=AOvVaw2mx70xFpAwmhpUhceB9c8D

Die anderen Verfahren kannst Du ebenso lösen.

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Kann ich von y wissen das wir nach k bestimmt haben, wissen ob das explizit oder implizit ist?

Wenn ja wie?

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Das versteh ich überhaupt nicht. Formuliere das mal neu.

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Ich meinte wenn ich y_k+1 bestimme aber nicht weiß welches Verfahren das ist, kann ich trotzdem wissen ob das implizit oder explizit ist?

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Nochmal. Ob das Verfahren explizit oder implizit ist, hängt nur von der Matrix \( A \) des Butcher Tabelaus ab. Das hatten wir doch schon geklärt.

Für die Konsistenzordnung musst Du folgend Ausdruck abschätzen

$$ \tau(t,h) = \frac{ y(t+h) - y(t) }{ h } - \Phi (t , y(t) , h) $$ wobei \(\Phi (t , y(t) , h)) \) die Verfahrensfunktion ist und die kannst Du aus dem Butcher Tabelaus ableiten.

Beschäftige dich mal mit der Literatur. In meinem Link ist das für das Heun Verfahren berechnet worden. Und für das Heun Verfahren habe ich Dir die Verfahrensfunktion auch schon aus dem Butcher Tabelau hergeleitet. Ich rechne aber nicht alles vor.

Das hilft Dir am allerwenigsten.

Also mal selbst aktiv werden und die Literatur studieren.

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Ok eine letzte Frage

wieso haben wir k_i und y_k+1 bestimmt wenn wir von der Matrix \( A \) des Butcher Tabelaus wissen können Ob das explizit oder implizit ist?

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Die \( k_i \) haben wir aus dem Butcher Tabelau bestimmt, damit wir die Verfahrensfunktion ermitteln können, die man braucht um die Verfahrenskonsistenz abschätzten zu können. Und \( y_{k+1} \) wurde ja gar nicht bestimmt, sondern das rechnet sich aus \( y_k \), der Schrittweite \( h \) und der Verfahrensfunktions aus.

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Ich habe vielleicht dumme Frage..

Könnte sein dass die Ordnung null ist ? oder mindestens 1 ?

Danke im Voraus

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Ordnung von welchem Verfahren?

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vom Fall b)

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Ich habe schon die Ordnung von allen Fällen, es bleibt mir nur noch die Ordnung vom Fall b). Ich wäre sehr dankbar wenn du mir sagen würdest welche Ordnung der Fall b) hat. Ich glaube 0 oder 1

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Was hast Du denn gerechnet? Wie bist Du auf das Ergebnis gekommen?