Wie lang ist die gesamte Tonspur einer Schallplatte ungefähr? (Aufgabe zum Kreis)

Question

Aufgabe:

Auf einer Langspielplatte, die mit 33 1/3 Umdrehungen abgespielt werden muss, ist ein 30 Minuten langes Musikstück eingeprägt. 14,5cm vom Mittelpunkt entfernt beginnt die Tonspur, sie endet 6,5cm vom Mittelpunkt entfernt. Wie lang ist die gesamte Tonspur ungefähr?

Problem/Ansatz:

Mir ist absolut schleierhaft, wie das gehen soll....

Answer 1

33,333 Umdrehungen pro Minute sind 100 in 3 Minuten und 1000 in 30 Minuten.

Wenn man von der äußersten Spur (r=14,5 cm) startet und innen bei 6,5 cm endet, ist das ein Unterschied von 8 cm.

Auf diesen 8 cm finden die 1000 Umdrehungen statt. Es ist zwar eine einzige spiralförmige Spur, wir können aber mit guter Näherung annehmen, dass das 1000 Kreise sind, von denen jeder Radius 0,008 cm kleiner ist als der vorhergehende. Zu berechnen ist damit 2π·(6,508+6,516+6,524+ ... + 14,500).

Answer 2

In den 30 Minuten macht die Platte 30*33 1/3 = 1000 Umdrehungen.

Man kann wohl annehmen, dass immer die nächste Tonspur um

das gleiche Stück d kürzer ist, als die vorige.

Die erste hat eine Länge von Lo= 2*r*pi = 2*14,5*pi cm= 91 cm

Die letzte L₁₀₀₀ = 2*6,5*pi cm =40,8cm

Also kann ich mit dem Mittelwert (91cm+40,8cm) / 2 = 66cm

rechnen, das gibt bei 1000 Umdrehungen also

66000cm = 660m

Answer 3

die mit 33 1/3 Umdrehungen abgespielt werden muss

Genauer gesagt 33 1/3 Umdrehungen pro Minute.

ein 30 Minuten langes Musikstück ...

... benötigt ungefähr 30·33 1/3

14,5cm vom Mittelpunkt entfernt beginnt die Tonspur, sie endet 6,5cm vom Mittelpunkt entfernt.

Durchschnitt der Radien ist (14,5 + 6,5)/2 = 10,5

Wie lang ist die gesamte Tonspur ungefähr?

Ungefähr das 30·33 1/3 - fache des Umfangs eines Kreises mit Radius 10,5 cm.