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Aufgabe:

Betrachte die folgende Rekursionsformel
\( x_{k}=\frac{16}{3} x_{k-1}-\frac{5}{3} x_{k-2}, \quad k \geq 2 \)
mit \( x_{0}=1 \) und \( x_{1}=1 / 3 \).
a) Zeigen Sie mittels Induktion, dass die Rekursion die Folge \( x_{k}=\left(\frac{1}{3}\right)^{k} \) erzeugt.
b) Führen Sie eine Fehleranalyse durch. Zeigen Sie, wie sich Rundungsfehler in \( x_{k-2} \) und \( x_{k-1} \) auf \( x_{k} \) auswirken.

Hinweis: Sei \( \epsilon_{k-1} \) der relative Fehler von \( x_{k-1} \) also \( \tilde{x}_{k-1}:=f l\left(x_{k-1}\right)=x_{k-1}\left(1+\epsilon_{k-1}\right) . \) Wie hängt dann \( \epsilon_{k} \) von \( \epsilon_{k-2} \) und \( \epsilon_{k-1} \) ab?


Problem/Ansatz:

Die vollständige Induktion habe ich noch hinbekommen. Aber was ist mit b.) gemeint?

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Hat Keiner eine Idee? Weil das Einzige was mir noch einfällt ist einfach die Formel des relativen Fehlers zu verwenden und x_n+1 jw. mit x_n und x_n-1 zu vergleichen in der Formel. Wäre das was?

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Wenn die Folgenglieder den absoluten Fehler \( \Delta_k \) besitzten folgt

$$ \frac{16}{3} \left( x_{k-1} + \Delta_{k-1} \right) - \frac{5}{3} \left( x_{k-2} + \Delta_{k-2} \right) = x_k + \frac{16}{3}  \Delta_{k-1} - \frac{5}{3} \Delta_{k-2} $$ also

$$ \Delta_k = \frac{16}{3}  \Delta_{k-1} - \frac{5}{3} \Delta_{k-2}  $$

D.h. der absolute Fehler erfüllt die gleiche Rekursionsgleichung wie die Größe \( x_k \)

Die allg. Lösung obiger Differenzengleichung ist $$ \Delta_k = 5^k a_1 +\left( \frac{1}{3} \right)^k a_2 $$

wobei sich die Zahlen \( a_1 \) und \( a_2 \) aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

D.h. $$  \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \Delta_0 \\ \Delta_1 \end{pmatrix} $$

Nimmt man z.B. für die Anfangsfehler \( \Delta_0 = \varepsilon \) und \( \Delta_1 = \varepsilon \) folgt

$$ \Delta_k = \frac{1}{7} 5^k \varepsilon + \frac{6}{7} \left( \frac{1}{3} \right)^k \varepsilon $$

Für \( k \to \infty \) folgt dann, $$ \Delta_k \to \frac{1}{7} 5^k \varepsilon $$ Der Fehler wird in diesem Fall also unendlich groß.

Avatar von 39 k

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