Erst mal für n=1 zeigen
$$ \sum \limits_{k=1}^{2} 4k+1 = 8 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 $$
ausrechnen 5 + 9 = 8+6 stimmt !
Jetzt nimm an, dass es für ein gilt, also
$$ \sum \limits_{k=1}^{2n} 4k+1 = 8n^2 + 6n $$
Dann zeigen, dass daraus folgt, dass es auch für n+1 gilt,
also anfangen mit
$$ \sum \limits_{k=1}^{2(n+1)} 4k+1 = \sum \limits_{k=1}^{2n+2} 4k+1 $$
Und jetzt muss du ja irgendwie die Annahme, dass es für n gilt einbauen,
dazu schreibst du die letzten beiden Summanden einzeln hin
$$ = \sum \limits_{k=1}^{2n} 4k+1 + 4(2n+1)+1 +4(2n+2)+1 $$
und rechnest schon mal aus
$$ = \sum \limits_{k=1}^{2n} 4k+1 + 16n+8 $$
Jetzt die Annahme einsetzen gibt
= 8n^2 + 6n+ 16n+8
Und jetzt musst du sehen, ob das das gleiche ist, wie das, was die zu
beweisende Formel für n+1 liefert. Das wäre ja 8(n+1)^2 +6(n+1) .
Also prüfe, ob immer gilt :
8n^2 + 6n+ 16n+8 = 8(n+1)^2 +6(n+1)
Mit etwas Umformen schaffst du das !
