Interpolationsfehler abschätzen. f(x) = sin(2x) Stützstellen x_(0) = -3, x_(1) = 0 und x_(2) = 3.

Question

ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgaben lösen soll. Wir nehmen grade die Lagrange-, Neville und Newtoninterpolation durch, daher nehme ich an, dass ich zunächst ein Interpolationspolynom erstellen sollte. Das ist auch kein Problem. Jedoch weiß ich dann nicht mehr weiter. Könnte mir jemand helfen?

Es sei \( p(x) \) das Interpolationspolynom zu der Funktion \( f(x)=\sin (2 x) \) mit den drei Stützstellen \( x_{0}=-3, x_{1}=0 \) und \( x_{2}=3 \)
Geben Sie eine möglichst gute Abschätzung für den größtmöglichen Interpolationsfehler auf dem Intervall \( [-3,3] \) an.

Answer 1

Hi,

Du kannst die Formel aus

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Fehlerabsch.C3.A4tzung

zu Fehlerabschätzung nehmen. Dann bekommt man

$$ | f(x) - P(x) | = \left| \frac{8}{6} \cos(2 \xi) (x^3-9x) \right| \le 8 \sqrt{3} \cdot | \cos[2\xi) | \le 8 \sqrt{3} $$
Das Lagrangepolynom sieht dabei so aus
$$ P(x) = \frac{1}{3} \cdot \sin(6) \cdot x $$