Interpolationsfehler abschätzen

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x) = x ln (x) sei in den Stützstellen x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3 durch
ein Polynom interpoliert. Wie groß ist der Interpolationsfehler an der Stelle x = 1.5
mindestens? Wie groß ist er höchstens?

Problem/Ansatz:

Habe mit unserer Formel: 

f(x) - p(x) = 1/(n+1)!   * w(x)*fⁿ⁺¹ (ξ)

und w(x) = (x-x₀)*...*(x-x_n) nun das Ergebnis :

$$\frac{-3}{48ξ^2 }$$  raus

Wäre dann der Fehler nicht zwischen Minus und Plus Unendlich ?

Comments

Was weiß man denn über das ξ ?

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Nur dass es aus demseöben bereich kommt wie die funktion selbst. Die ist ja für alle positiven x definiert

Answer 1

In meinem Numerik 0 Skript findet sich der folgende Satz:

Sei \( f \in C^{n+1}[a,b] \). Dann gibt es zu jedem Punkt \( x \in [a,b] \) ein \( \xi \in [x_0,...,x_n,x]^* \), s.d. gilt:

$$ f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) $$

Hierbei bezeichnet \( [x_0,...,x_n,x]^* \) das kleinste Intervall, welches alle in der Klammer eingeschlossenen Punkte enthält.

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Deine Funktion ist auf \([1,3]\) sicherlich \( C^3 \), für \( x = 1.5 \) ist \( [x_0,x_1,x_2,x]^* = [1,3] \)

$$ \prod_{j=0}^2 (x-x_j) = \frac{3}{8} $$

und damit

$$ \frac{f^{(3)}(\xi)}{(3)!} \prod_{j=0}^2 (x-x_j) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(-\frac{1}{\xi^2}\right) = -\frac{1}{16\xi^2}$$

Dein Ergebnis stimmt also schon mal. Jetzt nur noch

$$ \min_{\xi\in[1,3]} \left| -\frac{1}{16\xi^2}  \right| = \frac{1}{144}$$

und

$$ \max_{\xi\in[1,3]} \left| -\frac{1}{16\xi^2}  \right| = \frac{1}{16}$$

berechnen. Also gilt

$$ \frac{1}{144} \le \left| f(x)-p(x) \right| \le \frac{1}{16} $$

Comments

Aber woher weiß ich,d ass ich ξ nur auf [1,3] betrachte ? DIe funktion ln(x) ist ja nicht nur dort definiert

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Und was genau ist das ξ eigentlich? Wieso wissen wir, dass wenn das   ξ größer wird, der Fehler am größten ist `?

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Aber woher weiß ich,d ass ich ξ nur auf [1,3] betrachte ?

da \( [1,2,3,1.5]^* = [1,3] \) das kleinste Intervall ist welches x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3 und x=1.5 enthält.

DIe funktion xln(x) ist ja nicht nur dort definiert

Das spielt keine Rolle, der Satz sagt, dass dieses \( \xi \) im Intervall \( [x_0,...,x_n,x]^* \) existiert, ohne diese Einschränkung auf das kleinste Intervall ist der Satz vollkommen unbrauchbar, da der Fehler dann meistens - wie du selbst richtig bemerkst hast - betragsmäßig zwischen 0 und unendlich schwanken könnte. Wir wollen ja aber eine GUTE Fehlerabschätzung.

Schau am besten in deinen Unterlagen nochmal nach, eure Version sollte von meiner Version nicht allzu stark abweichen und das \( \xi \) in irgendeiner Form einschränken.

Und was genau ist das ξ eigentlich?

Das \( \xi \) ist eine geeignete reelle Zahl, mit der der Fehler der Interpolation bei der Stelle \(x\) via:

$$ f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) $$

beschrieben werden kann.Wenn wir jetzt das Intervall kennen in dem \( \xi \) liegen kann, können wir den Fehler abschätzen.

Wieso wissen wir, dass wenn das  ξ größer wird, der Fehler am größten ist `?

Der Fehler hängt nicht von \( \xi \) ab! Mit \( \xi \) kann der Fehler nur beschrieben werden und wenn du weißt, dass

$$ f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) $$

für ein \( \xi \in [x_0,...,x_n]^* =: I \) ist, dann weißt du auch, dass

$$ \min_{\xi \in I} \left|  \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right| \le \left| f(x) - p(x) \right| \le   \max_{\xi \in I} \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right|$$

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Ok, danke für die schnelle Antwort. Aber dann würden wir ja annehmen, dass  ξ sich auf eine bestimme Art und Weise verhält. Warum wissen wir zb nicht, dass für  ξ = 2.4 der Fehler bei 1000 liegen könnte ? Du nimmst ja an, dass die "Endpunkte" 1 und 3 jeweils die "Grenzen" des Fehlers sind.

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Warum wissen wir zb nicht, dass für  ξ = 2.4 der Fehler bei 1000 liegen könnte ?

da \( 2.4 \in [1,3] \) und somit

$$ \min_{\xi \in I} \left|  \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right| \le \left| \frac{f^{(n+1)}(2.4)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (2.4-x_j) \right| \le  \max_{\xi \in I} \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right| $$

Du nimmst ja an, dass die "Endpunkte" 1 und 3 jeweils die "Grenzen" des Fehlers sind.

Ich nehme, dass nicht an, dass ist die Aussage des Satzes.

Aber dann würden wir ja annehmen, dass  ξ sich auf eine bestimme Art und Weise verhält.

Das ist ja genau der Interessante Teil in der Aussage, das wir für \( \xi \) ein "relativ kleines" Intervall angeben können, in dem es liegen muss.

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Lass mich vielleicht noch eine Bemerkung dazwischen schieben, dann wird das Ganze vermutlich verständlicher.

Nach dem Satz weißt du, dass für jedes \( x \) im Definitionsbereich der Funktion ein \( \xi \in [x_0,...,x_n,x]^* =: I \) existiert mit

$$ f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) $$

Und diese Aussage wurde bewiesen, kann also geglaubt werden ;)

Was wir daraus direkt folgern können ist ja

$$ \min_{\xi \in I}  \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j)  \le  f(x) - p(x) \le  \max_{\xi \in I} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x-x_j) $$

denn auf der linken Seite steht das Minimum, den der Term in der Mitte annehmen kann und rechts das Maximum. Also liegt der Fehler da irgendwo in der Mitte von.

Aber daraus folgt dann die Ungleichung mit den Beträgen oben.