Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation ist.

Question

Aufgabe:

Es seien A und B Mengen mit Ordnungsrelationen ≤_A auf A und ≤_B auf B. Auf
der Menge A × B von A sei eine Relation R definiert durch
R = {((a₁, b₁),(a₂, b₂)) ∈ (A × B)² | a₁ ≤_A a₂ ∧ b₁ ≤_B b₂}.

Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation ist.

Problem/Ansatz:

Bitte ich komme nicht so ganz klar mit der Frage, Können Sie mir helfen ?

Danke im Voraus

Answer 1

Wie ist denn Ordnungsrelation bei euch definiert ?

Nur transitiv oder noch was ?

Wenn ≤_A  und ≤_B transitiv auf A bzw. B sind, dann ist

R auch transitiv auf A x B , denn:

Seien (a1, b1),(a2, b2),(a3,c3)    ∈ A × B   mit

(a1, b1)R(a2, b2)  und  (a2, b2)R(a3,c3), dann folgt nach Def. von R

\( a_1 ≤_A a_2 ∧ b_1 ≤_B b_2 \) und \( a_2 ≤_A a_3 ∧ b_2 ≤_B b_3 \)

also auch

\( a_1 ≤_A a_2   ∧ a_2 ≤_A a_3    ∧ b_1 ≤_B b_2    ∧ b_2 ≤_B b_3 \)

wegen der Trans. von ≤_A und ≤_B also auch

\( a_1  ≤_A a_3    ∧ b_1  ≤_B b_3 \) also   (a1, b1)R(a3,c3).