kartesisches Produkt von der Vereinigung

Question

Aufgabe:

Seien A und B beliebige Mengen. Zeigen oder widerlegen Sie:

P hier deutet auf das kartesische Produkt und nicht auf Wahrscheinlichkeit.

i) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)

ii) Wenn |P(A)| = 1, dann A = Ø

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zu (i): Betrachte \(A=\{1\},\: B=\{2\}\).

Zu (ii): Ist \(x\in A\), so hat man \(\quad\emptyset, \; \{x\}\in P(A)\).

Comments

zu (i) ich habe aus dem Beispiel rausgefunden, dass der linke Term ungleich rechter Term......stimmt so?

zu (ii), ich habe Ihre Antwort leider nicht ganz verstanden. wenn Sie einen Satz zur Erklärung dazu schreiben, wäre mega hilfreich. Danke

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Zu (i): Ja. Das ist ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass

die Gleichheit im allgemeinen nicht erfüllt ist..

Zu (ii): Daran sieht man, dass wenn A nicht leer ist, die Potenzmenge

mindestens 2 Elemente besitzt.

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zu (ii) aber wenn A leer wäre, dann ist:

p (Ø)  = {Ø} also kartesisches Produkt hat nur ein Element --> ihre Mächtigkeit = 1

daraus links = rechts. und man muss dann die Richtigkeit formal beweisen,

oder wo liegt mein Denkfehler?

ich glaube, Wenn es andersrum stehen würde also:

wenn A = Ø   |dann ist P(A)| = 1

dann muss man das beweisen. aber in dem Beispiel reicht ein Gegenbeispiel, richtig so?

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(i) Formaler:

\(A\neq \emptyset \Rightarrow \exists x\in A\Rightarrow \emptyset,\{x\} \in P(A)\Rightarrow |P(A)|\neq 1\)

Das ist die Kontraposition der zu beweisenden Aussage und

du hast sicher bereits erfahren, dass

\(\alpha \Rightarrow \beta\) äquivalent zu \(\lnot \beta \Rightarrow \lnot \alpha\)

ist (Kontraposition)

"ich glaube, Wenn es andersrum stehen würde also: ...."

Ja. Da hst du Recht.

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Es ist sehr klar und deutlich. Danke sehr.