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Ich komme mit diesem Beweis nicht weiter.


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Wo liegt mein Fehler?

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Hallo :-)

Alle deine Rechnungen sehen richtig aus. Es war auch eine gute Idee, sich die rechte Seite anzuschauen. Ich schreibe sie nochmal aus dem Induktionsschritt auf:

\(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(n+1)+k}\). Deine Rechnung endet auf den Ausdruck (linke Seite der Induktionsbehauptung) :

\(\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\).

Mache nun folgende Indexverschiebung:

$$\begin{aligned}&\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\\[15pt]=&\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+(k+1)}\right)+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\\[15pt]=&\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}\right)+\Bigg[\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\text{0-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{\text{n-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{(n+1)-ter Summand}\Bigg]+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\end{aligned}$$

Und jetzt musst du nur noch zusammenfassen.

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Vielen dank für die Antwort und deine Mühe. Ich bin leider zu dumm und weiß nicht,was ich alles noch zusammenfassen kann.Trotzdem danke

Nicht den Mut verlieren! Fasse doch mal die Summe

$$\Bigg[\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\text{0-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{\text{n-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{(n+1)-ter Summand}\Bigg]+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$$

zusammen.

Es kommt Null raus!!!

Genau!!! Und damit hast du deine Behauptung bewiesen. :D

Yippie!!


Wie kommst du aber auf den Term in den eckigen Klammern?

Es hat sich geklärt.

Vielen Dankkk

Ich habe die Summe \(\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)\) durch INDEXVERSCHIEBUNG zunächst auf die grundlegende Gestalt gebracht, wie sie in der Induktionsbehauptung vorliegt:

\(S:=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+1+k}\).

Jetzt stört aber die Indizierung, denn es wird in der Behauptung bei \(k=1\) angefangen zu zählen und man hört bei \(k=n+1\) auf. Also nehme ich von \(S\) den \(0\)-ten Summanden heraus:

\(S=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+1+k}\\=\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{n+1+k}\right)+\frac{1}{n+1}\).

In der großen Summe wird nur bis \(n-1\) hochindiziert. Also blähe ich jetzt die Summe mit einer addierten Null auf, indem ich zwei weitere Summanden der Form \(\frac{1}{n+1+k}\) für \(k=n\) und \(k=n+1\) in die Summe mit reinschreibe, aber sie außen wieder invers dazu addiere:

$$S=\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}\right)+\Bigg[\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\text{0-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{\text{n-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{(n+1)-ter Summand}\Bigg]$$

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