Vollständige Induktion - Wo liegt mein Fehler?

Question

Ich komme mit diesem Beweis nicht weiter.

Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Hallo :-)

Alle deine Rechnungen sehen richtig aus. Es war auch eine gute Idee, sich die rechte Seite anzuschauen. Ich schreibe sie nochmal aus dem Induktionsschritt auf:

\(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(n+1)+k}\). Deine Rechnung endet auf den Ausdruck (linke Seite der Induktionsbehauptung) :

\(\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\).

Mache nun folgende Indexverschiebung:

$$\begin{aligned}&\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\\[15pt]=&\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+(k+1)}\right)+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\\[15pt]=&\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}\right)+\Bigg[\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\text{0-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{\text{n-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{(n+1)-ter Summand}\Bigg]+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\end{aligned}$$

Und jetzt musst du nur noch zusammenfassen.

Comments

Vielen dank für die Antwort und deine Mühe. Ich bin leider zu dumm und weiß nicht,was ich alles noch zusammenfassen kann.Trotzdem danke

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Nicht den Mut verlieren! Fasse doch mal die Summe

$$\Bigg[\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\text{0-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{\text{n-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{(n+1)-ter Summand}\Bigg]+\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$$

zusammen.

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Es kommt Null raus!!!

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Genau!!! Und damit hast du deine Behauptung bewiesen. :D

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Yippie!!

Wie kommst du aber auf den Term in den eckigen Klammern?

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Es hat sich geklärt.

Vielen Dankkk

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Ich habe die Summe \(\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)\) durch INDEXVERSCHIEBUNG zunächst auf die grundlegende Gestalt gebracht, wie sie in der Induktionsbehauptung vorliegt:

\(S:=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+1+k}\).

Jetzt stört aber die Indizierung, denn es wird in der Behauptung bei \(k=1\) angefangen zu zählen und man hört bei \(k=n+1\) auf. Also nehme ich von \(S\) den \(0\)-ten Summanden heraus:

\(S=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+1+k}\\=\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{n+1+k}\right)+\frac{1}{n+1}\).

In der großen Summe wird nur bis \(n-1\) hochindiziert. Also blähe ich jetzt die Summe mit einer addierten Null auf, indem ich zwei weitere Summanden der Form \(\frac{1}{n+1+k}\) für \(k=n\) und \(k=n+1\) in die Summe mit reinschreibe, aber sie außen wieder invers dazu addiere:

$$S=\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}\right)+\Bigg[\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\text{0-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+1}}_{\text{n-ter Summand}}-\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{(n+1)-ter Summand}\Bigg]$$