C-Vektorraumstruktur auf R?

Question

Hallo, ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll zu rechnen, kann mir jemand dabei helfen?

Gibt es eine ℂ-Vektorraumstruktur auf ℝ, so dass die skalare Multiplikation ℂ x ℝ → ℝ eingeschränkt auf ℝ x ℝ die übliche Multiplikation reeler Zahlen sind? Begründen Sie Ihre Antwort!

Dankeschön :)

Answer 1

Es stehe "\(*\)" für die Skalarmultiplikation und "\(\cdot\)" für die

gewöhnliche Multiplikation in \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\).

Sei \(a=i*1 \), dann ist \(a \in \mathbb{R}\) und es gilt

\(a^2=a\cdot a=a*a=a*(i*1)=(a\cdot i)*1=(i\cdot a)*1=\)

\(=i*(a*1)=i*(a\cdot 1)=i*a=i*(i*1)=(i\cdot i)*1=\)

\(=-1*1=-1\cdot 1=-1\),

d.h. \(-1\) wäre in \(\mathbb{R}\) ein Quadrat, was nicht der Fall ist.

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Danke für deine Antwort :)