Vektorraum, auf I c R

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

5. \( (5+5+5+10=25 \) Punkte) Seien \( I \subset \mathbb{R} \) ein Intervall, das mindestens aus einem Punkt besteht und \( k \in \mathbb{N}_{0} \). Setze
\( C^{k}(I):=\{f: I \rightarrow \mathbb{R}: f \text { ist } k \text {-mal stetig differenzierbar }\} . \)
(a) Zeigen Sie, dass \( C^{k}(I) \) ein Vektorraum ist.
(b) Zeigen Sie, dass \( C^{k+1}(I) \subset C^{k}(I) \) für alle \( k \in \mathbb{N}_{0} \).
(c) Geben Sie für jedes \( k \in \mathbb{N}_{0} \) eine Funktion \( f \in C^{k}(I) \) an, sodass \( f \notin C^{k+1}(I) \).
(d) Sei \( C^{\infty}(I):=\bigcap_{k=1}^{\infty} C^{k}(I) \). Zeigen Sie, dass \( C^{\infty}(I) \leq C^{k}(I) \) für alle \( k \in \mathbb{N}_{0} \).

Problem/Ansatz: Ich verstehe grundlegend welche Bedingungen jeweils getroffen werden müssen, ich weiß aber nicht ganz wie ich das aufschreiben soll.

Answer 1

Zeigen Sie, dass \( C^{k}(I) \) ein Vektorraum ist.

Die Menge aller Funktionen \( f: I \rightarrow \mathbb{R}  \) bilden

einen Vektorraum. Also musst du nur zeigen, dass C^k(I) ein Teilraum ist.

Also prüfen, dass es nicht leer ist, klar weil z.B. die Nullfunktion drin ist.

Und Abgeschlossenheit gegen über Multiplikation mit reellen Konstanten

und bzgl. der Addition der Funktionen.

Ist beides erfüllt, also ist es ein Vektorraum.

b) bedeutet doch nur: Wenn f   (k+1)-mal stetig diffb. ist,

dann auch k-mal.

c) Für k=0 wäre das ja: f ist stetig aber nicht (stetig) differenzierbar.

Beispiel : Betragsfunktion auf [-1;1] an der Stelle 0 betrachten.

Für k=1:   f ist 1x stetig differenzierbar aber nicht 2x stetig differenzierbar.

Geht wohl mit f(x)=|x|*x .  Das lässt sich wohl fortführen.

Comments

Text erkannt:

5a) \( \quad C^{k}(I):=\{f: I \rightarrow \mathbb{R}: f \) ist \( k \cdot m a l \) differenzierbar \( \} \)
\( z C^{k}(I)-V R \)

Ist \( C^{k}(I) \) ein VR so müssen die Operationen Addition und Shalarmultiplikation definiert sein.
1. Addition: Seien \( g, h \in C^{r}(I) \), so gilt
\( s:=g+h, s \in C^{k}(I) \quad(S, 10.6) \)
2. Shalarmultiplikation: Sei \( \lambda \in \mathbb{R}, h \in C^{k}(I) \)
so gilt für eine Funhtion \( t=\lambda \cdot h, t \in C^{k}(I) \) (S.10.6)

Diese Eigenschaften zeigen, das \( C^{k}(I) \) ein Veletorrawm ist.
b) Se' \( h \in C^{k+1}(I) \), so muss auch \( h \in C^{k}(I) \) gelten, weil eine \( h+1-m a l \) differenzierbare Funktion auch \( h \) mal differenzierbar sain moss. Desweiteren gilt \( O_{e} C^{m}(I) \) (da die 0 Funhtion \( k+1 \)-mal ableitbar ist).
Somit ist \( C^{k+1} \leqslant C^{k} \)
c) Ein Beispiel ware die Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R}_{1} x \longmapsto|x|^{k} \), da die K-te Ableitung dieser Funktion \( f_{(x)}^{(k)}=h !|x| \) ist und diese nicht weiter differenzierbar ist \( \quad f \notin C^{k^{* 1}}(I) \).

Wäre das so für die Aufgaben a-c ok?

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statt bei a) zu sagen:

... Operationen müssen definiert sein

würde ich eher formulieren:

C^k(I) muss bezgl. dieser Operationen abgeschlossen sein.

Sonst sieht das m.E. ganz gut aus.