Zeigen sie dass die Basen eine Basis des jeweiligen VR sind? (Komplexe Zahlen, C-VR und R-VR)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der \( \mathbb{C} \) -Vektorraum \( \mathbb{C} \) mit der Basis \( B_{\mathbb{C}}: 1-\mathrm{i} \) und der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( \mathbb{C}_{\mathbb{R}} \) mit der Basis \( B_{\mathbb{R}}: b_{1}, b_{2} \) mit \( b_{1}=1+\mathrm{i}, b_{2}=1 \).
- Zeigen Sie, dass \( B_{\mathrm{C}} \) eine Basis von \( \mathbb{C} \) und dass \( B_{\mathbb{R}} \) eine Basis von \( \mathbb{C}_{\mathbb{R}} \) ist.
- Stellen Sie die komplexen Zahlen \( z_{1}=2+\mathrm{i} \) und \( z_{2}=-5+3 \mathrm{i} \) in den Basen \( B_{\mathbb{C}} \) und \( B_{\mathbb{R}} \) dar.

Problem/Ansatz:

Wie geh ich vor?

Comments

B_c bzgl. B_R habe  ich 1-i= -1(1+i)+2(1)

--> B: -1,2

B_R bzgl Bc weiß ich nicht, weil das 2 Basen sind. Muss ich das jeweils dann machen?,

Also:

b1= 1+i= x(1-i)  x=i

und b2= 1= x(1-i)  x=?

B: i, ?

Kann mir da jemand helfen?

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Entschuldigung, dass was ich geschrieben macht gar keinen Sinn. Ichhabe die Aufgabe vorhin falsch aufgefasst. Also den obigen Kommentar bitte einfach ignorieren.

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Nochmal zum ersten Teil der Aufgabe:

Die Bedingungen für eine Basis sind doch..

- die Lineare Unabhängigkeit

- Und das es ein Erzeugendensystem des entsprechenden VR sein muss.

Wir haben hier zwei VR: Einmal den C-Vektorraum C  und den R-Vektorraum C_R

C-VR C:

Ist hier die Kanonische Basis 1?

Ich denke, wenn ich die angegebene Basis mir der Kanonischen erzeuge und wieder das selbe rauskommt, ist bewiesen das es kein Vielfaches ist, also sozusagen eine Basis. Und weil C die Dimension 1 hat?( richtig?) ist die erste Bedingung schon erfüllt. Gerade denke ich aber, dass meine Gedanken falsch sind bzw. das grad keinen Sinn ergeben hat.

1-i= 1-i * 1 → ergibt das Gleiche

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Für die zweite Bedingung wollte ich ein beliebiges Element aus C mit der zu bestätigenden Basis erzeugen.

z.B  3+4i= ? *(1-i)

Bin aber zu keinem Ergebnis gekommen.

R-VR C_{R :}

Hier habe ich versucht nach dem gleichen Schema vorzugehen.

Ist hier die kanonische Basis B mit B₁:i und B₂:1 ?

Leider bin ich hier zu gar keinem Ergebnis gekommen.

Schon die Lin. Unabhängig zu zeigen, machte mir Schwierigkeiten:

x₁(1+i)+x₂(1)=0

--> x₁(1+i)=-x₂   lin. abhängig ??

...

Außerdem verstehe ich nicht, warum komplexe Elemente, also i in einem R-VR vorkommen?.

Und ist C_R die Komplexen Zahlen aber nur mit Blick auf sie Reellen, weil Reelle Zahlen gehören ja auch zu den Komplexen Zahlen, aber warum Betrachen wir dann den R-VR und nicht den C-VR?

Verfolge ich den richtigen Ansatz oder muss man hier vorgehen?

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Zur 2. Teilaufgabe

z1=2+i

bzgl B_R  habe ich B:1,1 

z2= -5+3i

bzgl B_R habe ich B:3,-8

(B_R:1+i,1)

Mein Problem ist die beiden Zahlen bzgl B_Cdarzustellen?Habe viel rumprobiert, aber ich seh's nicht. B_C:1-i.

Da brauche ich Hilfe. (Und natürlich der bei der 1. Teilaufgabe :)