Umkehrfunktion bestimmen Hilfe

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1.

Es sei f : R+0 →(0,1] die Funktion

\( f(x):=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f−1 von f, und zeigen Sie durch Berechnen von f◦f−1
und f−1◦f, dass f−1 auch tatsächlich die Umkehrfunktion ist. Achten Sie insbesondere auf
Definitions- und Wertebereiche. (Durch den Nachweis der Existenz einer Umkehrfunktion
haben Sie dann auch automatisch gezeigt, dass f bijektiv ist.)

Problem/Ansatz: Also: Ich muss jetzt um die Umkehrfunktion zu bestimmen nach X auflösen und dann X und Y miteinander vertauschen. Aber wie vertausche ich jetzt X und Y mathematisch korrekt, so dass X=1 und Y=0 sein müsste? Bzw. ist dann meine Annahme korrekt?

Hier mein Rechenweg auch noch:

Comments

Kann wer mal antworten? Oder muss ich die frage nochmal stellen?

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Nach 49 Minuten ist so eine Frage nicht adäquat.

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Ich habe mir so viel Mühe gegeben für diese frage. Sie kann gar nicht nicht adäquat sein! Ich werde sie nochmal stellen mir egal

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Vom Duplikat:

Titel: Umkehrfunktion bestimmen bei Abbildung

Stichworte: umkehrfunktion,definitionsbereich,ableitungen,exponentialfunktion,wurzeln

Aufgabe:

Aufgabe 1.

Es sei f : R+0 →(0,1] die Funktion

Text erkannt:

\( f(x):=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)

Problem/Ansatz:

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f−1 von f, und zeigen Sie durch Berechnen von f◦f−1
und f−1◦f, dass f−1 auch tatsächlich die Umkehrfunktion ist. Achten Sie insbesondere auf
Definitions- und Wertebereiche. (Durch den Nachweis der Existenz einer Umkehrfunktion
haben Sie dann auch automatisch gezeigt, dass f bijektiv ist.)

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Mal nebenbei gefragt: Studierst du Mathe?

Wenn ja, ist es eigenartig, dass du relativ einfache Äquivalenzumformungen nicht hinbekommst.

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vgl:

https://www.onlinemathe.de/forum/Umkehrfunktion-bestimmen-151

Answer 1

Hallo

dein Umgang mit Wurzeln ist gruselig! gerechnet wie du ist $$\sqrt2=\sqrt{1^2+1^2}=1+1=2?$$ Tu sowas NIE wieder

1. stelle fest 0< y=f(x)<=1 das ist der Bildbereich von f oder Wertebereich, damit auch der Definitionsbereich von f^-1.

quadriere beide Seiten. löse nach x^2 auf und ziehe am Ende die Wurzel x(y) ist dann f^-1

Gruß lul

Comments

Text erkannt:

\( \begin{aligned} f(x): &=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} / \cdot \\ y \cdot \sqrt{1+x^{2}} &=\sqrt{1+t^{2}} \mid \operatorname{lom} 2 ! \\ y^{2} \cdot 1+t^{2} &=1+x^{2} \\ y^{2}+t^{2} &=1+t^{2} \mid-y^{2} \\ x^{2} &=1+x^{2}-y^{2} \mid \sqrt{1} \\ x &=\sqrt{1+x^{2}-y^{2}}(2) ? \end{aligned} \)

So? ist das richtig?

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hast du meine Antwort gelesen?

das multiplizieren mit der Wurzel, also 2. Zeile ist falsch! Wenn du etwas mit dem Nenner multipluoerst, fällt der weg!

lass das weg, quadriere direkt! also y^2=-...

was du machst ist weiterhin gruselig, überlege jeden Schritt etwa langsamer!

lul

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Hmmm so richtig? Ich hab ein Problem. Wie kriege ich die X als Nenner weg eigentlich?

Text erkannt:

\( 7(x):=\frac{1}{\sqrt{7+1^{2}}} 1 . / \)
\( y \cdot \sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{1+2^{2}} \mid \log 2 . \)
\( \begin{aligned} y^{2} \cdot 1+x^{2} &=x+x^{2} \\ y^{2}+x^{2} &=1+x^{2} \quad \operatorname{lom} 2:-y^{2} \\ y^{2} &=1+x^{2}-y^{2} \\ x &=\sqrt{1+x^{2}-y^{2}}(?) \end{aligned} \)
\( y:=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \mid \) Qudrieren
\( y^{2}:=\frac{1^{2}}{1^{2}+x^{2}} \)
\( y^{2}=\frac{1}{1+x^{2}} \)

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Ja jetzt weiter, Kehrwert von beiden Seiten, dann nach x^2 auflösen

lul

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So korrekt gemacht oder falsch? Und ist das jetzt die Umkehrfunktion dann schon?

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Hallo

y^1/2=√y was du damit willst entgeht mir!

ich sagte Kehrwert!

also 1/y^2=1+x^2

wirklich gruselig was du so umformen nennst

lul

Answer 2

\( f(x):=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)

\( y=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)

\( y\cdot{\sqrt{1+x^{2}}}=1\)

\( y^2\cdot(1+x^2)=1^2\)

\( y^2\cdot1+y^2\cdot x^2=1\)

\( y^2\cdot x^2=1-y^2\)

\(x^2=\dfrac{1-y^2}{y^2}\)

\(x=\sqrt\dfrac{1-y^2}{y^2}\)

\(f^{-1}(x)=\sqrt\dfrac{1-x^2}{x^2}\)

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\( f(\green{f^{-1}(x)})\\=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\green{\sqrt\dfrac{1-x^2}{x^2}}\right)^{2}}} \\=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1-x^2}{x^2}}}  \\=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{1-x^2}{x^2}}} \\=\dfrac{1}{\sqrt\dfrac{x^2+1-x^2}{x^2}}  \\=\dfrac{1}{\sqrt\dfrac{1}{x^2}}  \\=\sqrt {x^2}\\=x\\=\mathrm{id}(x) \)

Comments

Jetzt muss ich die Verkettungen f◦f^−1 und f^−1◦f berechnen und zeigen, dass f−1, wirklich die Umkehrfunktion ist. Verkettung wäre dann so oder?: f◦f^−1 =f(f−1(x))

Muss ich dann einfach das Ergebnis von F^-1(x) in das x der Funktion f(x) einsetzen und dann ausrechnen?

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Du musst den einen Term in den anderen einsetzen und umgekehrt.

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Text erkannt:

\( f \circ f^{-1} \rightarrow f\left(f^{-1}(x)\right) \)
\( 50^{2}: f(x):=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\sqrt{\left.\frac{1-t^{2}}{x^{2}}\right)^{2}}\right.}} \)
\( f^{-1} \circ f \rightarrow f^{-1}(f(x)) \)
\( f^{-1}(t)=\sqrt{\frac{1-\left(\sqrt{2 \sqrt{1+x^{2}}}\right)^{2}}{\left(\sqrt{1+x^{2}}\right)^{2}}} \)

Kannst du mal bestätigen und sagen was ich falsch gemacht habe XD

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Das sieht ziemlich verwirrend aus. Ich habe meine Antwort ergänzt und eine Richtung vorgerechnet. Nun musst du es noch umgekehrt machen.

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Ok ich hätte es fast genauso aber ich muss kurz fragen: Wo kommt in deinem 5. letzten Schritt dein x^2 her, dass nach oben wandert? So dass da zwei x^2 oben stehen? Erklär bitte so als würdest du einem 4. Klässer erklären damit ichs verstehe.

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Die 1+.. muss auf den Nenner x^2 gebracht werden.

1=x^2/x^2

PS:

Bruchrechnung ist erst in der 6. Klasse Thema.

PPS:

Ok ich hätte es fast genauso

Witzbold!

:-)

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Ok ich merke schon du ich und die Mathematik werden gute Freunde. Das letzte der Aufgabe schaffe ich auch noch! Ich geb mein bestes:

Text erkannt:

\( f^{-7}(f x)=\sqrt{\frac{1-\left(\sqrt{1+t^{2}}\right)^{2}}{\left(\sqrt{\frac{1}{7 x}+2}\right)^{2}}} \)

Sooo habe jetzt das ERGEBNIS von f^-1 in beide X von f(x) eingesetzt. Ist das erstmal richtig für die Verkettung? Extra groß und leserlich geschrieben für dich

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Dann mach mal weiter!

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Wow hätte nicht gedacht dass ich irgendwas richtig machen kann.

Ehm jetzt habe ich versuch die klammern hoch 2 aufzulösen ()^2. Weiß nicht mal ob das jetzt der richtige Schritt ist aber ich komme trotzdem nicht weiter, denn ich kann einfach nicht mit solchen komischen brüchen rechnen. Kannst du mir nur bisschen Hilfe geben und sagen was ich machen könnte, so dass ich selber weiterlösen kann?

Text erkannt:

\( f(x))=\sqrt{\frac{1-\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{7+x^{2}}}\right)^{2}}} \)
\( (f(x))=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}{\sqrt{1+x^{2}}}} \)
\( x)=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}{\sqrt{1+x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}} \)

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Hoch 2 und Wurzel heben sich auf!

(√a)^2=a

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Text erkannt:

\( \begin{aligned} & \text { e1 }=\sqrt{\frac{1-1^{1}}{1-\frac{1}{1+x^{2}}}} \\ y &=\sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}} \\ y^{2} &=\frac{1-\frac{1}{1+t^{2}}}{\frac{1}{1+t^{2}}} \end{aligned} \)

Soo? Hab angst dass es wieder falsch ist

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Hallo,

y^2 ist nicht sinnvoll.

Das sollst ja herausbekommen, dass y=x ist.

Du musst den Bruch unter der Wurzel umformen. Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Angst ist unnötig. Wenn du es selbst könntest, würdest du diese Seite ja nicht besuchen. :-)

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\( y=\sqrt{\dfrac{1-\frac{1}{1+x^{2}}}{\frac{1}{1+x^{2}}}}\\= \sqrt{(1-\frac{1}{1+x^{2}})(1+x^2)}\\=  \sqrt{1+x^2-\frac{1+x^{2}}{1+x^2}}\\=  \sqrt{1+x^2-1}\\=\sqrt{x^2}\\=x  \)

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Kehrwert Trick bei komischen Brüchen muss ich mir merken.

Wie hast du genau die Binomische Formel in der zweiten Zeile aufgelöst? Ich möchte auch gucken, dass ich das richtig verstehe. Also binomische Formel kenne ich aber nicht genau bei solch komischen brüchen.

Und danke dir MontyPython für deine tolle Hilfe! Aber es wird bei weitem nicht meine letzte sein XD

Text erkannt:

\( -\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}} \)

Text erkannt:

\( x^{2} \)

Text erkannt:

\( -\frac{1}{1+x^{2}} \)

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Das ist keine binomische Formel, sondern nennt sich Distributivgesetz. Auf Deutsch: Ausmultiplizieren.

(a-b)*c=a*c - b*c

Dabei ist a=1, b ist der Bruch und c=1+x^2.