Zeigen Sie, dass a ∼ b :⇔ a◦b−1 ∈ A eine Äquivalenzrelation definiert

Question

Hallöchen,

kann mir hier jemand helfen bitte...

Es sei (G, ◦) eine Gruppe und U ⊂ G. (U, ◦) heißt Untergruppe von G, falls es ebenfalls eine Gruppe ist.

a) Es sei A eine Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass a ∼ b :⇔ a◦b−1 ∈ A eine Äquivalenzrelation definiert.

Bitte mit Lösungsweg. Danke

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass die -1 hochgestellt sein soll. Also:

$$ab^{-1}$$

Eine nichtleere Teilmenge A von einer Gruppe G ist genau dann Untergruppe, wenn für alle a, b in A gilt:

$$ab^{-1}\in A$$

Beweis der Äquivalenzrelation (ohne Gewähr):

Reflexivität:

$$a \sim a$$ denn

$$aa^{-1}=e\in A$$ wobei e das neutrale Element ist. Dieses liegt in A, da A eine Gruppe ist.

Symmetrie:
$$a \sim b\Rightarrow b \sim a $$ denn
$$ba^{-1}=(ab^{-1})^{-1}\in A$$ In einer Gruppe liegt nämlich mit jedem Element auch dessen Inverses in der Gruppe.

Transitiviät:
$$a \sim b \land b \sim c \Rightarrow a\sim c$$ denn

$$(ab^{-1})(bc^{-1})=a(b^{-1}b)c^{-1}=aec^{-1}=ac^{-1}$$ und

$$(ab^{-1})(bc^{-1}) \in A$$

da eine Gruppe immer auch das Produkt zweier ihrer Elemente enthält.

Comments

e das neutrale Element ist. Dieses liegt in A, da A eine Gruppe ist.

Da der Begriff der Untergruppe mit dieser Aufgabe erst eingeführt wird, denke ich, dass der Nachweis, dass das Einselement der Untergruppe gleich dem Einselement der gesamten Gruppe ist, mit zur Lösung gehören muss.