Induktionsbeweis zu n^2+(n-1)^2

Question

Gegeben sind folgende Mosaike:

für n=1	▢
für n=2	▢ ▢▢▢    ▢
für n=3	▢    ▢▢▢ ▢▢▢▢▢    ▢▢▢       ▢

Um zum nächsten Mosaik zu kommen, wird also an jede äußere Kante des VorgängerMosaiks ein neuer Stein angelegt. Dabei werden überlappende Steine nicht doppelt gezählt.
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Anzahl der Quadrate im n-ten Mosaik
gleich n²+(n-1)² , n∈ℕ ist

Answer 1

Anzahl Zeilen im n-ten Mosaik = 2n-1

Benötigte zusätzliche Steine zum Legen des (n+1)-ten Mosaik =2·(2n-1)+2 = 4n

Anzahl der Steine im n-ten Mosaik = n²+(n-1)² . Für das Legen des (n+1)-ten Mosaik kommen 4n Steine hinzu

n²+(n-1)²+4n=(n+1)²+n². q.e.d