Aufgabe:
Hallo zusammen. Ich habe solche Aufgabe bekommen:
∀(n,k∈Z),(n≥1,k≥0) : ∑i=−kn−12i=2n−2−k\forall (n, k\in\mathbb{Z}), (n \geq 1, k\geq 0) : \sum_{i = -k}^{n - 1}2^i = 2^n - 2^{-k}∀(n,k∈Z),(n≥1,k≥0) : i=−k∑n−12i=2n−2−k
Problem/Ansatz:
Das muss man mit der vollständige Induktion beweisen.
Ich weiß nicht wie man es beweist, da es 2 Variabeln gibt.
Vielen Dank im Voraus
Aloha :)
Wir zeigen zuerst durch vollständige Induktion:∑i=0N−12i=2N−1fu¨r N≥1\sum\limits_{i=0}^{N-1}2^i=2^N-1\quad\text{für }N\ge1i=0∑N−12i=2N−1fu¨r N≥1
Verankerung bei N=1N=1N=1:∑i=0N−12i=∑i=01−12i=20=1=21−1=2N−1✓\sum\limits_{i=0}^{N-1}2^i=\sum\limits_{i=0}^{1-1}2^i=2^0=1=2^1-1=2^N-1\quad\checkmarki=0∑N−12i=i=0∑1−12i=20=1=21−1=2N−1✓
Induktionsschritt von nnn auf (n+1)(n+1)(n+1):∑i=0(N+1)−1 2i=∑i=0N2i=∑i=0N−12i+2N=(Ind.Vor.)(2N−1)+2N=2⋅2N−1=2N+1−1✓\sum\limits_{i=0}^{(N+1)-1}\!\!\!2^i=\sum\limits_{i=0}^N2^i=\sum\limits_{i=0}^{N-1}2^i+2^N\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}(2^N-1)+2^N=2\cdot2^N-1=2^{N+1}-1\quad\checkmarki=0∑(N+1)−12i=i=0∑N2i=i=0∑N−12i+2N=(Ind.Vor.)(2N−1)+2N=2⋅2N−1=2N+1−1✓
Damit folgt die Behauptung aus einer einfachen Indexverschiebung. Mit n≥1n\ge1n≥1 und k≥0k\ge0k≥0 ist N=n+k≥1N=n+k\ge1N=n+k≥1, sodass wir das gerade gefundene Ergebnis auf N=n+kN=n+kN=n+k anwenden können:∑i=−kn−12i=∑i=0(n+k)−12i−k=2−k∑i=0(n+k)−12i=(N=n+k)2−k(2n+k−1)=2n−2−k\sum\limits_{i=-k}^{n-1}2^i=\sum\limits_{i=0}^{(n+k)-1}2^{i-k}=2^{-k}\sum\limits_{i=0}^{(n+k)-1}2^i\stackrel{(N=n+k)}{=}2^{-k}\left(2^{n+k}-1\right)=2^n-2^{-k}i=−k∑n−12i=i=0∑(n+k)−12i−k=2−ki=0∑(n+k)−12i=(N=n+k)2−k(2n+k−1)=2n−2−k
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