Aufgabe über Untergruppen, Homomorphismus

Question

Aufgabe:

Es seien (G, •) und (H, ∗) Gruppen und e_G bzw. e_H das jeweilige neutrale Element.
Weiter sei Φ: G → H ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern von Φist die Menge
Kern Φ:= {g ∈G |Φ(g) = e_H }.
a) Zeigen Sie:
(i) Kern Φist eine Untergruppe von G.
(ii) Φist genau dann injektiv, wenn Kern Φ= {e_G }gilt.

b) Zeigen Sie, dass die Menge G ×H mit der Verknüpfung
(g₁, h₁ ) (g₂, h₂ ) := (g₁ •g₂, h₁ ∗h₂ )
eine Gruppe ist. Sie wird direktes Produkt von G und H genannt. Zeigen Sie weiter, dass
die Abbildung
Φ: (G ×H, ,♦) →(G, •), (g, h) 7→ g,

ein Homomorphismus ist. Bestimmen Sie außerdem den Kern von Φ.

Problem/Ansatz:

Wie soll man da am Besten rangehen bzw. wie soll man diese Beweise führen?

Answer 1

Für a) musst du zeigen, dass es

i)

1) Ein neutrales Element gibt

2) Jedes Element ein eindeutiges Inverses hat

3) Abgeschlossenheit unter der binären Operation

4) Assoziativität der binären Operation

ii)

Man nehme an es gäbe noch (mindestens) ein weiteres Element \( e_{G} \neq a \in \operatorname{ker} \Phi \). Dann ist \( \Phi(a)=\Phi\left(e_{G}\right) \) und \( a \neq e_{G} \) und somit ist die Funktion nicht injektiv. Wenn nun \( \operatorname{ker} \Phi=\left\{e_{G}\right\}(1) \) ist, so nehme man an es sei
\( \Phi(a)=\Phi(b) \)
Da für einen Homomorphismus gilt \( \Phi\left(a^{-1}\right)=\Phi(a)^{-1} \) haben wir
\( e_{H}=\Phi(b) \Phi(a)^{-1}=\Phi(b) \Phi\left(a^{-1}\right)=\Phi\left(b * a^{-1}\right) \stackrel{(1)}{\Rightarrow} b * a^{-1}=e_{G} \Longleftrightarrow b=a \)

Für b) wieder Gruppeneigenschaften prüfen und für den Homomorphismus eben beweisen, dass für beliebige Gruppenelemente gilt:

\( \Phi(a * b)=\Phi(a) \Phi(b) \)