Schritt bei Induktion unklar.

Question

Behauptung: 2^n>n^2 für n>=5

IA: n=5: 25=32>52=25

IV: 2n>n^2

IS: 2n+1=2*2n>2*n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1=(n+1)^2

Dass n^2>2n+1 ist müsstest du streng genommen noch mit Induktion beweisen, daran kannst du es ja nochmal üben.

Quelle: https://www.mathelounge.de/392848/vollstandige-induktion-ungleichung-2-n-n-2-fur-alle-n-5

Wie kommt man bitte auf das "2^n > 2n+1" also woher weiß ich. Dass das erfüllt sein muss.

Answer 1

Aloha :)

Die Formel setzt ja \(n\ge5\). Dafür giblt aber:$$n\cdot(n-2)>1\implies n^2-2n>1\implies n^2>2n+1$$

Der Induktionsschritt ist dann:

$$2^{n+1}=2\cdot2^{n}\stackrel{\text{Ind.Vor.}}{>}2\cdot n^2=n^2+n^2>n^2+(2n+1)=(n+1)^2$$

Comments

Hi Tschakabumba,

ich meine das nicht. Wie kommt man von hier "IS: 2n+1=2*2n>2*n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1=(n+1)^2" auf den Gedanken: "Jetzt muss ich ja nur noch "2^n > 2n+1" zeigen".

Ich verstehe nicht, wo das "2^n > 2n+1" her kommt.

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Das musst du gar nicht zeigen. Ich habe das in meiner Antwort noch ergänzt. Das \(2^n\) wird durch die Induktionsvorausstzung elemniiert.

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Ok..

und woher kommt das:

\( n^{2}+n^{2}>n^{2}+(2 n+1) \)

Es muss doch auch wenn dann ein "<" hin oder?

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Das erste \(n^2 \) bleibt stehen.

Das zweite \(n^2\) wird durch \(2n+1\) abgeschätzt, denn \(n^2>(2n+1)\).

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Aber wie kommt man auf diese abschätzung?

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Das steht als erster Teil in der Antwort ;)

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Ich verstehe das nicht. Ist das eine komplexe Aufgabe?

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Der ganze Beweis läuft unter der Voraussetzung, dass \(n\ge 5\) ist. Das bedeutet aber, dass:$$n\cdot(n-2)>5\cdot(5-2)=5\cdot3=15>1$$also ist:$$n\cdot(n-2)>1$$Jetzt multiplizierst du links aus:$$n^2-2n>1$$und addierest auf beiden Seiten \(2n\):$$n^2>2n+1$$Das ist unser wichtiges Zwischenergebnis.

Im Indultionsschritt machst du nun Folgendes:$$2^{n+1}$$Das zerlegst du mit Hilfer der Portenzgesetze:$$2^{n+1}=2^1\cdot 2^n=2\cdot 2^n$$Jetzt nimmst du dir die Induktionsvoraussetzung \(2^n>n^2\) und schätzt damit das \(2^n\) ab:$$2^{n+1}=2\cdot2^n>2\cdot n^2$$Jetzt schreibst du \(2n^2\) anders auf:$$2^{n+1}>2\cdot n^2=n^2+n^2$$und erinnerst dich nun an unsere Rechnung von oben. Damit schätzen wir das zweite \(n^2\) ab:$$2^{n+1}=n^2+\underbrace{n^2}_{>2n+1}>n^2+(2n+1)$$Jetzt wendest du die erste binomische Formel an:$$2^{n+1}>n^2+2n+1=(n+1)^2$$und bist fertig ;)

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Ok jetzt habe ich es verstanden. Das hat bei mir aber lange gedauert : /

Danke Tschakabumba, dass du das so ausführlich gemacht hast.

Answer 2

Hallo,

\(2^{n+1}=2*2^n>2*n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1=(n+1)^2\)

Bei solchen Beweisen fragt man sich oft, wie man darauf kommt.

Ich gehe von beiden Seiten an die Aufgabe heran, d.h. ich forme den Term \(2^{n+1}\) solange um, bis ich nicht weiterkomme.

\(2^{n+1}=2*2^n>2*n^2=n^2+n^2\)

Dann versuche ich den Term, der am Ende herauskommen soll, so umzuformen, dass er dem gerade ermittelten ähnelt.

\((n+1)^2=n^2+2n+1=n^2+n\cdot (2+\frac1n)\)

Da für n≥5 gilt \(2+\frac1n<n\), können beide Zeilen nun zusammengefasst werden.

:-)