Vollständige Induktion letzter Schritt

Question

Aufgabe:

a) Beveisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion.

Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} . \)

Vollstandige Jnduktion
(1) Induktionsanfang \( (I A) \checkmark \)
(2) Indukteonsvorausectrung (lv) \( v \)
(3) Induktiensschnitt (IS)

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)
IA: \( n=1 \)
\( \underline{V}: \exists n \in \mathbb{N}: \)
IS: \( n \rightarrow n+1 \)
\( z . z: \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{1} \frac{2}{3^{k}} &=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{1} \\ \frac{2}{3^{*}} &=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{1} \\ 0, \overline{66} &=0, \overline{66} \checkmark \end{aligned} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{2}{3^{k}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}+\frac{2}{3^{n}+1} \)
\( =1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{2}{3 n+1} \)

Problem/Ansatz:

Letzter Schritt der vollständigen Induktion.Komm leider mit der Umformung nicht weiter.Bitte um Hilfe

Comments

Erweitere den ersten Bruch mit 3, dann addieren

Answer 1

\( 1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{2}{3^{n+1}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{1}{3^{n}} \cdot \frac{2}{3} \stackrel{(A)}{=} 1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{1}{3^{n}} \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{1}{3^{n}}-\frac{1}{3^{n+1}} \)

\( =1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \)

Comments

Vielen Dank super gut erklärt.Kann dich echt nur weiterempfehlen.

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Freut mich sehr dass es geholfen hat!