Aloha :)
Diese von dir angegebene Formel wird oft als Definition des Binomialkoeffizienten angegeben. Daher wäre es wichtig zu wissen, wie ihr den Binomialkoeffizienten definiert habt. Ich vermute, ihr habt den Binomialkoeffizienten über seine Bedeutung in der Kombinatorik definiert.
Die Kernidee des Binomialkoeffizienten
Wir haben \(n\) Objekte und wollen daraus genau \(k\) Objekte (ohne Zurücklegen) auswählen. Die Anzahl dieser Auswahlmöglichkeiten bezeichnen wir mit \(\binom{n}{k}\).$$\binom{n}{k}\coloneqq\text{Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.}$$
Randbedingungen
$$\binom{n}{0}=1\quad;\quad\binom{n}{n}=1$$
zu 1) Es gibt immer nur eine Möglichkeit, kein Objekt auszuwählen, wir erhalten dann die leere Menge.
zu 2) Es gibt immer nur eine Möglichkeit, alle Objekte auszuwählen.
Rekursionsgleichung
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus \((n+1)\) Objekten genau \(k\) auszuwählen? Zur Beantwortung stellen wir uns vor, wir hätten \(n\) Objekte und würden dazu ein neues Objekt dazulegen. Dann gibt es 2 Möglichkeiten.
a) Das neue Objekt wird ausgewählt. Dann müssen aus den \(n\) alten Objekten noch genau \((k-1)\) ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k-1}\) Möglichkeiten.
b) Das neue Objekt wird nicht ausgewählt. Dann müssen aus den \(n\) alten Objekten genau \(k\) Objekte ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten.
Das bedeutet mit Binomialkoeffizienten geschrieben:$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$$
Berechnungsformel für den Binomialkoeffizienten
Wir zeigen nun dass die Beziehung$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$sowohl die Randbedingungen$$\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\cdot(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1\quad\checkmark\quad;\quad\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!\cdot(n-n)!}=\frac{n!}{n!\cdot1}=1\quad\checkmark$$
als auch die Rekursionsgleichung erfüllt:
$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-(k-1))!}$$$$\qquad=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\cdot\frac{(n-k+1)}{(n-k+1)}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-k+1)!}\cdot\frac{k}{k}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot(n-k+1)}{k!\cdot\underbrace{(n-k)!\cdot(n-k+1)}_{=(n-k+1)!}}+\frac{n!\cdot k}{\underbrace{(k-1)!\cdot k}_{=k!}\cdot(n-k+1)!}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot n-n!\cdot k+n!}{k!\cdot(n-k+1)!}+\frac{n!\cdot k}{k!\cdot(n-k+1)!}=\frac{n!\cdot n\,\cancel{-n!\cdot k}+n!\,\cancel{+n!\cdot k}}{k!\cdot(n-k+1)!}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot n+n!}{k!\cdot(n-k+1)!}=\frac{n!\cdot(n+1)}{k!\cdot(n+1-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)!}=\binom{n+1}{k}\quad\checkmark$$Damit ist die Gültigkeit der Berechnungsformel bewiesen.
