Wie bestimmt man die Determinante einer Matrix als Funktion in Abhängigkeit von ihrer Dimension?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine quadratische Matrix C vom Typ n, wobei n∈N ist. Alle Einträge von C auf der Hauptdiagonalen sind gleich 2 (zB C_1,1 = 2 , C_2,2 = 2 , etc.) und alle anderen Einträge sind gleich 1. Nun soll man die Determinante von C als Funktion in Abhängigkeit von n bestimmen.

Problem/Ansatz:

Durch Ausrechnen von spezifischen Werten habe ich herausgefunden, dass (vermutlich) gilt: f_det(n) = n + 1

Meine Frage ist jetzt, wie kann man diese Formel allgemein bestimmen? Oder reicht es die Annahme aus ein paar Beispielen zu folgern und dann irgendwie zu beweisen?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Hallo
da du eine gute Vermutung hast, machs mit vollständiger Induktion
sonst eine Umformung angeben, die auf die Formel kommt.
Gruß lul

Answer 1

Deine Frage ist ein Spezialfall der Determinante von folgender Matrix

$$  A = \begin{pmatrix} a & b & ... & b & b \\ b & a & ... & b & b \\ . & . & ... & . & . \\ b & b & ... & a & b \\ b & b & ... & b & a \end{pmatrix} $$

Für diese Matrix gilt

$$ \det A =  (a-b)^{n-1} (a + (n-1) b ) $$

Mit Deinen Werten ergibt sich auch Deine Vermutung.