Bestimmen Sie K[X]^{\times} .

Question

Sei K ein Körper und \( K^{\times} \)  ⊆  K die Teilmenge der bzgl. Multiplikation invertierbaren Elemente.

Bestimmen Sie \( K[X]^{\times} \).

wäre sehr dankbar, wenn jemand mir hilft.

Comments

Körper sind nullteilerfrei, deshalb gilt

deg(f*g)=deg(f)+deg(g)

Für Polynome in K[X], wenn du nun ein Polynom f und sein Inverses g betrachtest, es sei also

f*g=1

Dann wäre

0 = deg(f) + deg(g)

Die Grade sind nicht negativ (≥0) oder =−∞.

Also bleibt nur deg(f)=deg(g)=0. Es kommen somit nur Polynome von Grad 0 infrage.

Das sind polynome von der Form f=a mit a in K*

Das zeigt K[X]* ⊆ K*

Den Rest schaffst du sicher selbst.