(e) Ist G isomorph zum direkten Produkt H \times K?

Question

Text erkannt:

Für \( n \in \mathbb{N}, n \geq 3 \) betrachten Sie die folgenden Teilmengen von Mat \( \left(2, \mathbb{Z}_{n}\right) \) :
\( G=\left\{\left(\begin{array}{ll} u & a \\ 0 & 1 \end{array}\right) \mid u \in \mathbb{Z}_{n}^{*}, a \in \mathbb{Z}_{n}\right\}, \quad H=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array}\right) \mid a \in \mathbb{Z}_{n}\right\}, \quad \text { und } \quad K=\left\{\left(\begin{array}{ll} u & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \mid u \in \mathbb{Z}_{n}^{*}\right\} . \)

Beweisen Sie:
(a) \( G \) ist eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation.
(b) \( H \) ist ein Normalteiler von \( G \), isomorph zu \( \mathbb{Z}_{n} \).
(c) \( K \) ist eine nicht normale Untergruppe von \( G \), isomorph zu \( \mathbb{Z}_{n}^{*} \).
(d) Die Abbildung \( \varphi: H \times K \rightarrow G,(A, B) \mapsto A B \) ist bijektiv.
(e) Ist \( G \) isomorph zum direkten Produkt \( H \times K \) ?

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Hat wer Tipps dazu ?

Answer 1

Hello

a) Du musst die Gruppeneigenschaften einfach nachrechnen. Das heißt als erstes überprüfst du, ob die Multiplikation von zwei Matrizen aus G auch wieder in G liegt. Anschließend Assoziativität, Neutrale Element und Inverse.

b) zu überprüfen ist gH=Hg. Nimm dir also ein g aus G und ein h aus H und berechne g*h anschließend betrachtest du g*h' und schaust dir an, ob du dir so ein h' konstruieren kannst, sodass gh=h'g ist. Die Isomorphie ergibt sich aus der Abbildung H -> a + nZ geschickt.

c) Gleiche spiel wie bei der b) nur wirst du dir ein u dann wählen, sodass nicht gh=h'g folgt. Abbildung ist K -> u+ nZ

d) Einfach den Kern betrachten und surjektivität zeigen

e) Dafür musst du lediglich nachrechen, ob bei der d) für diese Abbildung ein Homomorphismus ist