Jeder n-dimensionale K-Vektorraum ist zum K^{n} isomorph - Erklärung.

Question

Situation:
Ich lerne gerade Darstellungsmatrizen und das kommutative Diagramm und blicke noch nicht durch. Ich denke, dass ich den folgenden Satz, nicht verstanden habe und der \(\mathbb{K}^n\) kommt ja auch im kommutativen Diagramm vor.
Dieser liegt ja unten links also unter dem Vektorraum V. 

Satz: 
Jeder n-dimensionale \(\mathbb{K}\)-Vektorraum ist zum \(\mathbb{K}^n\) isomorph.

Ist B = (b1, ... ,bn) eine geordnete Basis des  \(\mathbb{K}\)-Vektorraumes \(V,\)
so ist die Abbildung $$ \varphi : V \rightarrow \mathbb{K}^n , \\v ↦ v_b $$ eine bijektive Abbildung. 

Die beiden Vektorräume \(V\) und \(\mathbb{K}^n\) unterscheiden sich also nur durch die Bezeichnung ihrer Elemente.
V und \(\mathbb{K}^n\) sind isomorph. 

Problem/Ansatz:

(1) Was bringt mir das Wissen, dass sie isomorph sind? 
Bedeutet das, dass ich mit \(\mathbb{K}^n\) genau gleich arbeiten kann, ohne dass Informationen verloren gehen arbeiten kann?

(2) Beschreibt das den Weg im kommutativen Diagramm von oben links nach unten links ? 

(3) Haben \(\mathbb{K}^n\) und \(V\) verschiedene Basen oder wähle ich eine Basis von V und eine Basis von \(\mathbb{K}^n\) so dass die von mir gewählten Basen gleich sind ? Denn dann kann ich den Vektor aus \(V\) einfach als Spaltenvektor im \(\mathbb{K}^n\) aufschreiben.

Answer 1

(1) Was bringt mir das Wissen, dass sie isomorph sind? 
Bedeutet das, dass ich mit K^n genau gleich arbeiten kann, ohne dass Informationen verloren gehen arbeiten kann?   Es ist eben die gleiche Struktur. Bei K^n ist ja z.B. die Menge aller Spalten, die

nur an einer Stelle einen Wert a und sonst überall 0en haben ein 1-dim Unterraum.

Und in jedem Vektorraum V also die Menge aller Vielfachen eines Basisvektors.

(2) Beschreibt das den Weg im kommutativen Diagramm von oben links nach unten links ?

Nicht zu sehen Q!

(3) Haben K^n  und V verschiedene Basen ? 
Na klar, etwa die Menge aller Polynome vom Grad höchstens 2 hat z.B. die Basis 1, x , x^2.

Da jedes Polynom als a*1 + b*x + c*x^2 geschrieben werden kann, entspricht das dem

Spaltenvektor (a;b;c)^T .

Comments

2, 3 habe ich verstanden. 


noch zu klären:
Was meinst du mit "...Bei Kn ist ja z.B. die Menge aller Spalten" ? 
K^n sind ja Spaltenvektoren mit jeweils n Komponenten. 

Ich interpretiere das von dir gesagte so: 
Wenn ich  eine Menge dieser Spaltenvektoren aus dem \(K^n\) betrachte und sage das an der Stelle \(a\) (Sagen wir das ist die oberste Stelle, also oberste Komponente) dieses \(n\)-zeiligen Spaltenvektors dann sieht die Menge doch so aus: 

\( \begin{pmatrix} a\\0\\0 \end{pmatrix} \), wobei a ∈ ℝ.

Dann ist das, wenn ich das als eine Menge betrachte,  ein 1 dim Unterraum im \(K^n.\)  

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So ist es. Und entsprechend ist in dem angesprochenen

Polynomraum die Menge der Polynome mit a*x^2 ein

1-dim Unterraum.

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Vielen Dank ! :)