Zeigen Sie, dass für C ∈ K^{N \times N} folgende Aussagen äquivalent sind:

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass für \( C \in K^{N \times N} \) folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) \( C \) ist regulär.
(ii) \( \operatorname{Kern} C=\{\mathbf{0}\} \).
(iii) Spaltenrang \( C=N \).
(iv) Die Spalten von \( C \) bilden eine Basis von \( K^{N} \).

(b) Seien \( A \in K^{N \times N} \) und \( B \in K^{M \times M} \) zwei quadratische Matrizen. Weiter sei die Matrix \( C \in K^{(N+M) \times(N+M)} \) wie folgt gegeben:

\( C=\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)=\operatorname{diag}(A, B) \)

Zeigen Sie, dass \( C \) genau dann regulär ist, wenn \( A \) und \( B \) regulär sind.

Ich wäre sehr sehr dankbar, falls mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte, ich verstehe sie nämlich gar nicht :( Danke im voraus

Answer 1

\( C \) ist regulär.

==>   Es gibt \( C^{-1} \) so, dass \( C^{-1}  \cdot C   = E_N \)

Sei nun \(   x \in \operatorname{Kern} C\)

==>    \( C \cdot x = 0 \)

==>    \( C^{-1}  \cdot C \cdot x = C^{-1}  \cdot 0 \)

==>    \( E_N \cdot x = C^{-1}  \cdot 0 \)

==>    \(  x =  0 \)

Also  \( \operatorname{Kern} C=\{\mathbf{0}\} \).

Weiter sei \(   \sum \limits_{i=1}^N x_is_i = 0  \) eine Linearkombination des

Nullvektors durch die Spalten von \( C \).

==>    \( C \cdot    \begin{pmatrix} x_1\\ \dots \\x_N \end{pmatrix} =0 \)

==>    \(  \begin{pmatrix} x_1\\ \dots \\x_N \end{pmatrix}   \in \operatorname{Kern} C \)

==>    \(  x_1   =  x_2 = \dots = x_N  \)

==>  Die Spalten sind linear unabhängig, und es sind N Stück,
               also Spaltenrang = N.

==>  Die Spalten von \( C \) sind N linear unabhängige Vektoren in
        dem N-dimensionalen Raum \( K^{N} \), also eine Basis dafür.

Also Spaltenrang der quadratischen Matrix \( C \) maximal

==>      \( C \) regulär.