Direktes Produkt von Gruppen - Verknüpfung zweier Elemente

Question

Aufgabe:

Seien (G1, ∗1) und (G2, ∗2) zwei Gruppen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

Das sogenannte direkte Produkt (G1 × G2, ∗) ist wieder eine Gruppe, wobei die Verknüpfung zweier Elemente (g1, g2),(h1, h2) ∈ G1 × G2 durch (g1, g2) ∗ (h1, h2) := (g1 ∗1 h1, g2 ∗2 h2) definiert ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich zeigen, dass (G1 × G2, ∗) wieder eine Gruppe ist, unter der Verknüpfung der beiden Elemente?

Answer 1

Fang an mit der Abgeschlossenheit.

Für je zwei Elemente g und h aus G x H muss du zeigen

     g * h ist wieder in G x H.

Seien also g und h aus G x H

==> Es gibt g1 und h1 aus G und g2 und h2 aus H mit

g=(g1,h1) und h=(g2,h2) .

Nach Def. von * gilt also g*h= ( g1 *₁ h1 , g2 *₂ h2 ),

wobei *₁ und *₂ ja die Verknüpfungen in den Gruppen G und H

bezeichnen. Da G abgeschlossen ist ( ist ja ne Gruppe)

ist g1 *₁ h1 ∈ G und entsprechend g2 *₂ h2 ∈ H ,

also g*h ∈ G x H.

So ähnlich musst du für die anderen Gruppenaxiome auch

argumentieren.

Findest du in der Art auch da

https://www.mathelounge.de/542647/seien-gruppen-wir-definieren-menge-eine-verknupfung-durch