Fragen zu Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen?

Gilt immer - gilt nie - es kommt darauf an

b) Die Summe der Binomialkoeffizienten in einer Zeile des Pascal-Dreiecks lässt sich als Zweierpotenz schreiben.

→ stimmt; allerdings fehlt mir ein Nachweis

c) Binomialkoeffzienten wie (5,3) = (5 * 4 * 3)/(1 * 2 * 3) berechnet man als Brüche. Sie brauchen deswegen nicht ganzzahlig sein.

→ ? k. A.

e) In jeder Zeile des Pascal-Dreiecks findet man Gleichheiten der Form (5,2) = (5,3).

→ ? k. A.

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) ist gleich der Anzahl an Möglichkeiten, von \(n\) Objekten genau \(k\) ohne Zurücklegen auszuwählen.

zu b) gilt immer, denn

eine Menge mit \(n\) Elementen besitzt genau \(2^n\) Teilmengen.

zu c) gilt immer, denn

die Anzahl an Auswahlmöglichkeiten ist immer eine natürliche Zahl.

zu e) gilt immer, denn

es gibt genau \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten, von den \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen. Diese \(k\) ausgewählten Objekte kann man nun herausnehmen und die anderen \((n-k)\) Objekte liegenlassen, oder mann lässt die \(k\) ausgewählten Objekte liegen und nimmt die \((n-k)\) anderen Objekte heraus. Die Anzahl der Möglichkeiten ist in beiden Fällen gleich \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\).