Zeige: Abschluss von A oder B

Question

Aufgabe:

A und B sind Teilmengen eines metrischen Raumes (X,d). Zeige:

Abschluss von (A∪B)=(Abschluss von A)∪(Abschluss von B)

Problem/Ansatz:

Erbitte um einen Ansatz.

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Wie habt Ihr denn den Abschluss einer Menge definiert?

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Sei (X, d) ein metrischer Raum und T ⊆ X.
2)Abschluss T := ∩{A⊆X| A⊇ T ist abgeschlossen} heißt Abschluss von T.

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal \(\bar{T}\) für den Abschluss.

Dann gilt für jede Menge \(T \sube \bar{T}\), daher \(A \sube \bar{A}\) und \(B \sube \bar{B}\), also \(A \cup B \sube \bar{A} \cup \bar{B} \). Jetzt ist die rechte Seite abgeschlossen (Info: Der Abschluss einer Menge ist abgeschlossen, Vereinigung von 2 abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen - bekannt?). Daher folgt \(\overline{A \cup B} \sube \bar{A} \cup \bar{B} \).

Die Umkehrung geht ähnlich: Es gilt \( A \sube A \cup B \sube \overline{A \cup B}\), daher auch \( \bar{A}  \sube \overline{A \cup B}\). Analog für B und damit auch \( \bar{A}\cup \bar{B}  \sube \overline{A \cup B}\).

Gruß Mathhilf

PS: Vielleicht habt Ihr aber auch den Abschluss mit Hilfe von Folgen charakterisiert und sollt das benutzen.

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Vielen Dank!

Würden Sie mir bitte noch verraten wie sie den Strich über den Buchstaben hinbekommen haben, habe das hier nicht gefunden.

LG

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Für 1 Buchstaben: \bar{T}

Für mehr: \overline{xxxxx}