Bogenlänge des Teils einer Astroide berechnen

Question

Moin, Ich habe folgende Aufgabe und würde gerne wissen ob ich da auf dem richtigen Weg bin.

Aufgabe:

Berechnen Sie die Bogenlänge des Teils einer Astroide, der in Parameterform wie folgt gegeben
ist:

\( x=2 \cos ^{3} t \)
\( y=2 \sin ^{3} t \)
\( t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)

Meine Rechnung:

Aus unseren Skript entnehme ich diese Formel:

\( s=\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\dot{\varphi}(t)^{2}+\dot{\psi}(t)^{2}} d t \)
Hier ist allgemein \( \dot{f}(t)=\frac{d f(t)}{d t} \).

\( \dot{\varphi}(t) \) = \( \frac{dx}{d t}\left(2 \cos ^{3}(t)\right) \) = \( 2 \cdot 3(\cos (t))^{2}(-\sin (t)) \) = \( -6 \cos ^{2}(t) \sin (t) \)

\( \dot{\psi}(t) \) = \( \frac{dy}{d t}\left(2 \sin ^{3} t\right) \) = \( 6 \sin ^{2}(t) \cos (t) \)

s = \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(-6 \cos ^{2}(t)\sin (t) \right)^{2}+\left(6 \sin ^{2}(t) \cos (t)\right)^{2}} d t \)

s = \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}-6 \cos ^{2}(t)+\sin (t)+6 \sin ^{2}(t)+\cos (t) \mid \) dt

Integralrechnung per Computer :

s= -2 +2

s= 0

Answer 1

Aloha :)

Die Länge des Weges$$\vec r(t)=\binom{2\cos^3t}{2\sin^3t}\quad;\quad 0\le t\le\frac\pi2$$können wir mit folgendem Integral bestimmen:$$L=\int\limits_0^{\pi/2}dr=\int\limits_0^{\pi/2}\left\|\frac{d\vec r(t)}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_0^{\pi/2}\left\|\binom{-6\cos^2t\sin t}{6\sin^2t\cos t}\right\|\,dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{36\cos^4t\sin^2 t+36\sin^4t\cos^2t}\,dt=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{36\cos^2\sin^2t(\cos^2t+\sin^2t)}\,dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^{\pi/2}6\cos t\sin t\,dt=6\left[\frac12\sin^2t\right]_0^{\pi/2}=3\left(1-0\right)=3$$