Nun, ich mach mir halt gern was zum Ansehen. UNd dann würde Dir auffallen, das auch negative Strecken entstehen, so daß das Integral runter und rauf wohl 0 ergibt
bleiben wir bei
\(\small X(t) \, := \, \left(R \; \operatorname{sin} ^{3}\left( t \right), R \; \operatorname{cos} ^{3}\left( t \right) \right)\)
\(\small dX(t) \, := \, \left(3 \; R \; \operatorname{cos} \left( t \right) \; \operatorname{sin} ^{2}\left( t \right), -3 \; R \; \operatorname{cos} ^{2}\left( t \right) \; \operatorname{sin} \left( t \right) \right)\)
Da haben wir vertauschte Koordinaten, oder?
Ich schreib jetzt in x macht meinem CAS weniger Arbeit.
\(\small dX(x)^2 = 9 \; R^{2} \; \operatorname{sin} ^{2}\left( x \right) \; \operatorname{cos} ^{4}\left( x \right) + 9 \; R^{2} \; \operatorname{sin} ^{4}\left( x \right) \; \operatorname{cos} ^{2}\left( x \right) \)
\(\small dX(x)^2 = 9 \; R^{2} \cdot \frac{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{4}\left( x \right) + 2 \; \operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1}\)
\(\small \sqrt{dX\left(x \right)^{2}}=3 \; R \; \frac{\operatorname{tan} \left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1} \)
\(\small \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3 R \cdot \frac{\operatorname{tan} \left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2} \; R\)
\(\small \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi}3 R \cdot \frac{\operatorname{tan} \left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1}\,\mathrm{d}x = \frac{-3}{2} \; R\)
U=4*3/2 R = 6 R
Meine Kurve B ist die Ortskurve des Punktes C auf dem Wanderkreis Or ... https://www.geogebra.org/m/k7npchsy