Umfang von Astroide aus Parameterform bestimmen

Question

Aufgabe:

Ein Kreis mit dem Radius r rollt gleitfrei auf dem Inneren eines Kreises mit dem Radius R = 4r ab.
Die Kurve, die ein auf dem kleineren Kreis festgehaltener Punkt dabei beschreibt, heißt Astroide und besitzt die Parameterdarstellung x(t) = \( \begin{pmatrix} Rsin(t)^3\\Rcos(t)^3\\ \end{pmatrix} \); t ∈ [0,2π].

Berechnen sie den Umfang der Astroide.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es davon auszugehen, dass der Umfang der Bogenlänge der Kurve entspricht. Was ich mit den Angaben über den Radius des großen und kleinen Kreises anfangen soll, weiß ich leider nicht, weshalb ich diese ignoriert hatte.

Ich habe versucht die Bogenlänge folgendermaßen zu berechnen:

Von hier aus bin ich nicht mehr weitergekommen. Ich habe versucht mit einem Integralrechner nachzuvollziehen, wie man auf das Endergebnis kommt. Dieser verwendet den trigonometrischen Pythagoras, allerdings weiß ich nicht, wie ich diesen anwenden soll, um den Term zu vereinfachen.

Weiterhin soll das Endergebnis 0 sein, was aber aus meiner SIcht nicht stimmen kann, denn dann wäre der Umfang der Astroide gleich 0.

Wenn mir jemand hierbei weiterhelfen könnte, wäre ich sehr dankbar! :)

Answer 1

Du hast wohl die Koordinaten vertauscht - dann dürften die Grenzen nicht mehr passen? Ich würde nur einen Zacken betrachten: t=0...pi/2

Ich hab auch eine andere Parameterkurve B gefunden.

Für Deine Astroide komm ich auf 3/2 R * 4

Für meine Astroide erhalte ich sin²(t)+cos²(t)=1 bereinigt

\(\small 4*\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{ \left(\frac{d B\left(t \right)}{dt} \right)^{2}}\,\mathrm{d}t =  = 4\cdot 6 |r| \)

Comments

Danke erstmal für die Antwort.
Ich kann leider nicht wirklich folgen... Inwiefern soll ich die Koordinaten vertauscht haben? Und was ist mit dieser Kurve B? In der Aufgabenstellung ist nur die Kurve x(t) gegeben.

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Nun, ich mach mir halt gern was zum Ansehen. UNd dann würde Dir auffallen, das auch negative Strecken entstehen, so daß das Integral runter und rauf wohl 0 ergibt

bleiben wir bei

\(\small X(t) \, :=  \, \left(R \; \operatorname{sin} ^{3}\left( t \right), R \; \operatorname{cos} ^{3}\left( t \right) \right)\)

\(\small dX(t) \, :=  \, \left(3 \; R \; \operatorname{cos} \left( t \right) \; \operatorname{sin} ^{2}\left( t \right), -3 \; R \; \operatorname{cos} ^{2}\left( t \right) \; \operatorname{sin} \left( t \right) \right)\)

Da haben wir vertauschte Koordinaten, oder?
Ich schreib jetzt in x macht meinem CAS weniger Arbeit.

\(\small dX(x)^2 = 9 \; R^{2} \; \operatorname{sin} ^{2}\left( x \right) \; \operatorname{cos} ^{4}\left( x \right) + 9 \; R^{2} \; \operatorname{sin} ^{4}\left( x \right) \; \operatorname{cos} ^{2}\left( x \right) \)

\(\small dX(x)^2 = 9 \; R^{2} \cdot \frac{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{4}\left( x \right) + 2 \; \operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1}\)

\(\small \sqrt{dX\left(x \right)^{2}}=3 \; R \; \frac{\operatorname{tan} \left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1} \)

\(\small \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3 R \cdot \frac{\operatorname{tan} \left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2} \; R\)

\(\small \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi}3 R \cdot \frac{\operatorname{tan} \left( x \right)}{\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1}\,\mathrm{d}x = \frac{-3}{2} \; R\)

U=4*3/2 R = 6 R

Meine Kurve B ist die Ortskurve des Punktes C auf dem Wanderkreis O_r ... https://www.geogebra.org/m/k7npchsy

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Okay ja, alles klar. Macht jetzt alles Sinn für mich, vielen dank! :D

Answer 2

Hallo,

Du hast in der Ableitung von x in der ersten Komponente die Ableitung der 2. Komponente notiert - und umgekehrt. Das spielt aber keine Rolle, weil alles quadriert und summiert wird.

Zu Deinem Integral, eine Möglichkeit ist

1. Klammere \(\sin(t)^2\cos(t)^2\) aus und verarbeite den Rest zu 1.

2. Benutze die Formel für \(\sin(2t)\) zur Vereinfachung.

3. Ziehe die Wurzel, aber beachte: \(\sqrt{\sin(2t)^2}=|\sin(2t)|\)

4. Beseitige die Absolutbeträge durch Ausnutzung der Periodizität von \(\sin(2t)\).

5. Integriere.

Gruß

Comments

Vielen dank für die Antwort, hat mir ebenfalls geholfen! :)